• 第十二章 数项级数
• 第十三章 函数列与函数项级数
  • 函数列
  • 函数项级数
• 第十四章 幂级数
• 第十五章 傅里叶级数
• 第十六章 多元函数的极限与连续
• 第十七章 多元函数微分学
  • 我的小结
• 第十八章 隐函数定理及其应用
• 第十九章 含参量积分
  • 含参量（正常）积分
  • 含参量（反常）积分
  • 欧拉积分
• 第二十章 曲线积分（即所谓路径积分）
• 第二十一章 重积分
  • 二重积分的概念和直角坐标系下二重积分的计算方法
  • 格林公式
  • 二重积分的变量变换
  • 三重积分
  • 应用
  • n重积分
  • 反常二重积分
    • 无界区域上的二重积分
    • 无界函数的二重积分
  • 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
• 第二十二章 曲面积分
  • 第一型曲面积分
  • 第二型曲面积分
  • 两类曲面积分的联系
  • 高斯公式和斯托克斯（Stokes）公式
• 第二十三章 流形上的微积分学初阶
• 我的小结
• 参考

第十二章 数项级数

1. 定义：关于数列\(\{u_n\}\)的数项级数定义为\(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n\)或简写为\(\sum u_n\)；部分和\(S_n=\sum_{k=1}^n u_k\)；若部分和数列\(\{S_n\}\)收敛则称该数项级数收敛
2. 定理12.1：级数收敛的柯西准则（俩充分大的部分和的差可以任意小）
3. 定理12.2：收敛级数的线性组合得到的级数也收敛
4. 定理12.3：去掉、增加或改变收敛级数的有限项不改变收敛性
5. 定理12.4：通过任意增加括号改变收敛级数的求和顺序不改变收敛性。注意不是改变各项的顺序！和定理12.13比较！
6. 定义：每个\(u_n\)都为正的级数称为正项级数
7. 定理12.5：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界
8. 定理12.6（比较原则）：若一个正项级数从某项开始之后的每项都小于等于另一个，则后者收敛时前者也收敛。
9. 定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）：通过项数足够大之后的所有相邻两项的比值满足的性质来判断收敛性，通过比较原则来证明；另有一个极限形式。
10. 定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法）：通过每项开项数次方根得到的值满足的性质来判断收敛性，通过比较原则来证明；另有一个极限形式。
    • 凡能由比式判别法判断收敛性的级数也能由根式判别法判断
11. 定理12.9（积分判别法）：设\(f\)为\([1,+\infty)\)上的非负减函数，则正项级数\(\sum f(n)\)与反常积分\(\int_1^{+\infty}f(x)\dx\)同敛散。
12. 定理12.10（拉贝判别法）：以和相邻两项的比值有关的更加复杂的不等式来判断收敛的更慢从而不能通过比式或根式判别法判断敛散性的级数的敛散性。
13. 定理12.11（莱布尼兹判别法）：用于判断交错级数（相邻两项的正负号相反）的敛散性
14. 定义：绝对收敛（各项的绝对值组成的级数收敛）；条件收敛（收敛但不绝对收敛）
15. 定理12.12：绝对收敛=>收敛
16. 定理12.13：绝对收敛的级数任意重排后得到的级数也绝对收敛，且和原级数有相同的收敛值。
17. 条件收敛的级数在任意重排后不一定收敛或可以收敛到不同的值
18. 定理12.14（柯西定理）：两绝对收敛的级数“相乘”（类似于两级数所有项的笛卡尔积）得到的各项的任意排列得到的级数也绝对收敛，且收敛值等于该俩级数的收敛值的积
19. 定理12.15（阿贝尔判别法）：若\(\{a_n\}\)为单调有界数列且级数\(\sum b_n\)收敛，则级数\(\sum a_n b_n\)收敛
20. 定理12.16（狄利克雷判别法）：若数列\(\{a_n\}\)单调递减且\(\lim_{n\to+\infty}a_n=0\)，且级数\(\sum b_n\)的部分和数列有界，则级数\(\sum a_n b_n\)收敛

第十三章 函数列与函数项级数

函数列

1. 定义在同一数集上的函数\(\{f_n\}\)称为定义在该数集上的函数列。若数列\(\{f_n(x_0)\}\)收敛则称\(x_0\)是该函数列的收敛点。若函数列在定义域的某个子集\(D\)上的每个点都收敛，则由所有收敛点确定的函数称为该函数列的极限函数，记为\(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x),x\in D\)。
2. 函数列收敛的\(\vae-N\)定义：对每一固定的\(x\in D\)，任给\(\vae>0\)，都存在正数\(N=N(\vae,x)\)（表示\(N\)可能依赖于\(\vae\)和\(x\)），使得当\(n>N\)时总有\(\abs{f_n(x)-f(x)}<\vae\)。
3. 一致收敛的定义：对任给\(\vae>0\)，都存在（不依赖于\(\vae\)和\(x\)的）正数\(N\)，使得当\(n>N\)时，对一切\(x\in D\)都有\(\abs{f_n(x)-f(x)}<\vae\)。
4. 收敛但不一致收敛的例子：\(\{x^n\}\)在\((0,1)\)上收敛于\(f(x)=0\)但不一致收敛。
5. 定理13.1：函数列一致收敛的柯西准则
6. 定理13.2：一致收敛的充要条件是\(\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in D}\abs{f_n(x)-f(x)}=0\)。（由一致收敛、极限、上确界的定义可证）
7. 定理13.8：设\(\{f_n\}\)在\((a,x_0)\cup(x_0,b)\)上一致收敛于\(f(x)\)，且对每个\(n\)，\(\lim_{x\to x_0}f_n(x)=a_n\)，则\(\lim_{n\to\infty}a_n\)和\(\lim_{x\to x_0}f(x)\)均存在且相等。证明：先通过柯西准则以及\(\{a_n\}\)和\(\{f_n(x)\}\)的关系证明\(\{a_n\}\)是收敛数列；设\(\{a_n\}\)收敛于\(A\)，通过该结论、\(\{f_n(x)\}\)的一致收敛性、以及\(\{a_n\}\)和\(\{f_n(x)\}\)的关系，使用放缩法\(\abs{f(x)-A}\le\abs{f(x)-f_{N+1}(x)}+\abs{f_{N+1}(x)-a_{N+1}}+\abs{a_{N+1}-A}\)证明\(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\)。
8. 重要推论：上述定理表明，在一致收敛的条件下\(\{f_n(x)\}\)中两个独立变量\(x\)与\(n\)，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换，即\(\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}f_n(x)\)
9. 定理13.9：一致收敛的函数列若每一项都连续，则其极限函数也连续。直接由定理13.8可证。

10. 定理13.10：若\(\{f_n\}\)在\([a,b]\)上一致收敛且每一项都连续，则\(\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)\dx=lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\dx\)。证明：由定理13.9，\(\{f_n\}\)的极限函数在\([a,b]\)上连续从而可积，则有

    \[\begin{align} \abs{\int_a^b f_n(x)\dx-\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)\dx}=&\abs{\int_a^b f_n(x)\dx-\int_a^b f(x)\dx}\\ =&\abs{\int_a^b\p{f_n(x)-f(x)}\dx}\\ \le&\int_a^b\abs{f_n(x)-f(x)}\dx\\ \le&\vae(b-a) \end{align}\]
11. 定理13.11：设\(\{f_n\}\)为定义在\([a,b]\)上的函数列，若\(x_0\in[a,b]\)为\(\{f_n\}\)的收敛点，\(\{f_n\}\)的每一项在\([a,b]\)上有连续的导数，且\(\{f'_n\}\)在\([a,b]\)上 一致收敛，则\(\dd{ }{x}\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\dd{ }{x}f_n(x)\)。证明：设\(\{f'_n\}\)一致收敛于\(g\)，由定理13.9知\(g\)连续。设\(f_n(x_0)\)收敛于\(A\)，根据定积分的牛顿-莱布尼兹公式有\(f_n(x)=f_n(x_0)+\int_{x_0}^{x}f'_n(t)\dt\)，且由于\(n\to\infty\)时右边第一项极限为\(A\)，第二项极限根据定理13.10为\(\int_{x_0}^{x}g(t)\dt\)，因此左边极限存在，记为\(f\)（即\(\{f_n\}\)收敛于\(f\)）。于是\(f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=A+\int_{x_0}^{x}g(t)\dt\)。根据\(g\)的连续性和微积分学基本定理推得\(f'(x)=g(x)\)，证毕。
12. 在定理13.11的条件下还可以证明\(f_n\)一致收敛于\(f\)。

    如何证明？

函数项级数

1. 定义：函数项级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)或简写为\(\sum u_n(x)\)；部分和函数列：\(S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)\)；若部分和数列（不是函数列）\(S_n(x_0)\)当\(n\to\infty\)时极限存在，则称该函数项级数在点\(x_0\)收敛（否则称为在该点发散）。收敛域\(D\)的定义。和函数\(S(x)=\sum u_n(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)=\lim_{n\to\infty}\p{\sum_{k=1}^n u_k(x)},x\in D\)。
2. 一致收敛的定义：\(\{S_n(x)\}\)在\(D\)上一致收敛于函数\(S(x)\)。
3. 定理13.3：函数项级数一致收敛的柯西准则（直接由函数列一致收敛的柯西准则可得）
4. 余项\(R_n(x)=S(x)-S_n(x)\)
5. 定理13.4：一致收敛的充要条件是\(\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in D}\abs{R_n(x)}=\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in D}\abs{S(x)-S_n(x)}=0\)。（类似定理13.2）
6. 定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）：\(\sum u_n(x)\)定义在\(D\)上，\(\sum M_n\)为收敛的正项级数，若对一切\(x\in D\)有\(\abs{u_n(x)}\le M_n, n=1,2,\ldots\)，则函数项级数\(\sum u_n(x)\)在\(D\)上一致收敛。
7. 定理13.6（阿贝尔判别法）：若\(\sum u_n(x)\)在\(I\)上一致收敛，\(\{v_n(x_0)\}\)是单调数列对于每一个\(x_0\in I\)成立，且\(\{v_n(x)\}\)在\(I\)上一致有界（即对一切\(x\in I\)和正整数\(n\)，存在正数\(M\)使得\(\abs{v_n(x)}\le M\)），则级数\(\sum u_n(x)v_n(x)\)在\(I\)上一致收敛。
8. 定理13.7（狄利克雷判别法）：若\(\sum u_n(x)\)的部分和函数列在\(I\)上一致有界，\(\{v_n(x_0)\}\)是单调数列对于每一个\(x_0\in I\)成立，且在\(I\)上\(v_n(x)\)一致收敛于0，则级数\(\sum u_n(x)v_n(x)\)在\(I\)上一致收敛。
9. 定理13.12：若函数项级数\(\sum u_n(x)\)在区间\([a,b]\)上一致收敛且每一项都连续，则其和函数在\([a,b]\)上也连续。这是定理13.9的推论。这个定理表明，在一致收敛条件下，（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即\(\sum\p{\lim_{x\to x_0}u_n(x)}=\sum u_n(x_0)=\lim_{x\to x_0}\p{\sum u_n(x)}\)。

10. 定理13.13：若函数项级数\(\sum u_n(x)\)在\([a,b]\)上一致收敛且每一项\(u_n(x)\)都连续，则

    \[\sum\int_a^b u_n(x)\dx=\lim_{n\to\infty}\p{\sum_{k=1}^n\p{\int_a^b u_k(x)}}=\lim_{n\to\infty}\p{\int_a^b\p{\sum_{k=1}^n u_k(x)}}=\int_a^b\sum u_n(x)\dx\]

    。这是定理13.10的推论，其中等式左边第二项是根据和函数的定义对第一项的展开式，第三项是在第二项上使用黎曼积分的性质，第四项是第三项使用定理13.10把极限符号和积分符号交换并且把极限求和按照定义简写成和函数的形式。

11. 定理13.14：若函数项级数\(\sum u_n(x)\)在\([a,b]\)上每一项都有连续的导函数，\(x_0\in[a,b]\)为\(\sum u_n(x)\)的收敛点且\(\sum u′_n(x)\)在\([a,b]\)上一致收敛，则有

    \[\sum\dd{ }{x}u_n(x)=\lim_{n\to\infty}\p{\sum_{k=1}^n\p{\dd{ }{x}u_k(x)}}=\lim_{n\to\infty}\p{\dd{ }{x}\p{\sum_{k=1}^n u_k(x)}}=\dd{ }{x}\p{\lim_{n\to\infty}\p{\sum_{k=1}^n u_k(x)}}=\dd{ }{x}\p{\sum u_n(x)}\]

    。这是定理13.11的推论，和上面类似，第二第三步分别把和函数按定义展开并利用导数的四则运算法则，第四步使用了定理13.11。

第十四章 幂级数

1. 定义：幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)，本章只讨论\(x_0=0\)的情况（下文所述幂级数均指这种情况）
2. 定理14.1（阿贝耳定理）：若幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在\(x=x_0\ne 0\)收敛，则对满足不等式\(\abs{x}\lt\abs{x_0}\)的任何\(x\)，该幂级数收敛而且绝对收敛；若该幂级数在\(x=x_0\)时发散，则对满足不等式\(\abs{x}>\abs{x_0}\)的任何\(x\)，该幂级数发散。通过比式判别法来证明。由此定理知道该幂级数的收敛域是以原点为中心的区间，若以\(2R\)表示该区间的长度，则称\(R\)为幂级数的收敛半径。
3. 定理14.2：若\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\abs{a_n}}=\rho\)，则当
   • \(0<\rho<+\infty\)时，幂级数的收敛半径\(R=\frac{1}{\rho}\)
   • \(\rho=0\)时幂级数的收敛半径\(R=+\infty\)
   • \(\rho=+\infty\)时幂级数的收敛半径\(R=0\)

   由级数的根式判别法可证。

4. 定理14. 3（柯西-阿达玛或Cauchy-Hadamard定理）：把定理14.2的条件换为\(\sqrt[n]{\abs{a_n}}\)的上极限等于\(\rho\)，定理14.2的结论仍然成立。
5. 定理14.4：若幂级数的收敛半径为\(R>0\)，则在它的收敛区间\((-R,R)\)内任一闭区间\([a,b]\)上它都一致收敛。通过比较原则证明？
6. 定理14.5：若幂级数的收敛半径为\(R>0\)且在\(x=R\)（或\(x=-R\)） 时收敛，则幂级数在\([0,R]\)（或\([-R,0]\)）上一致收敛。通过阿贝尔判别法即定理13.6证明。
7. 定理14.6：幂级数的和函数是\((-R,R)\)内的连续函数；若幂级数在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右(左)连续。通过定理13.12可证。
8. 定理14.7：幂级数与其逐项求导/逐项求积后得到的幂级数具有相同的收敛区间。通过比较原则证明逐项求导得到的级数在原幂级数的收敛区间收敛，通过反证法和比较原则证明在原幂级数的发散区间发散。
9. 定理14.8：设幂级数在收敛区间\((-R,R)\)上的和函数为\(f\)，若\(x\)为\((-R,R)\)内任意一点，则
   • \(f\)在\(x\)可导且\(f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n x^{n-1}\)
   • \(f\)在以\(0\)和\(x\)为端点的区间（\(x\)可以是下端点）上可积且\(\int_0^x f(t)\dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\)

   根据定理14.7、定理14.4以及十三章的逐项求导和逐项求积定理（即定理13.13和13.14）可证。

10. 推论：幂级数在收敛区间\((-R,R)\)内的和函数在\((-R,R)\)内具有任何阶导数且可逐项求导任何次
11. 推论：幂级数在\(x=0\)某邻域内的和函数\(f\)在\(x=0\)处的各阶导数与幂级数的系数有如下关系：\(a_0=f(0),a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!},(n=1,2,\cdots)\)。这个推论表明，若幂级数在\((-R,R)\)上有和函数\(f\)，则该幂级数由\(f\)在\(x=0\)处的各阶导数所惟一确定。
12. 定义：若两个幂级数在\(x=0\)的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在这邻域内相等
13. 定理14.9：若俩幂级数在\(x=0\)的某邻域内相等，则它们同次幂项 的系数相等。这是上面定理14.8第二个推论的推论。
14. 定理14.10：俩收敛的幂级数的线性组合和积也收敛且满足。通过和函数的定义以及极限的性质可以证明。关于积的证明要用定理14.8的第二个推论？
15. 定义：如果函数\(f\)在\(x=x_0\)处存在任意阶的导数，这时称形式为\(\sum_{n=0}^{\infty}\p{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}\)的级数为函数\(f\)的泰勒级数
16. 要注意：具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身
17. 定理14.11：设\(f\)在点\(x_0\)具有任意阶导数，那么\(f\)在区间\((x_0-r,x_0+r)\)内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式\(\abs{x-x_0}\lt r\)的\(x\)，有\(\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0\)，这里\(R_n(x)\)是\(f\)在\(x_0\)的泰勒公式余项。通过定理6.9（泰勒定理，函数可以展开为带有拉格朗日型余项的泰勒公式）来证明。
18. 如果\(f\)能在\(x_0\)的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数\(f\)在\(x_0\)的这一邻域内可以展开成泰勒级数，并称等式\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\p{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}\)的右边为\(f\)在\(x=x_0\)处的泰勒展开式或幂级数展开式。根据定理14.8的推论2可知这个展开式是唯一的。在实际应用上，主要讨论函数在\(x_0=0\)处的展开式，称为麦克劳林级数
19. 复数项级数及其收敛/绝对收敛的定义，复数项幂级数及其收敛的定义，复变量的指数函数、正弦函数、余弦函数的定义，以及欧拉公式的简述
20. 生成函数（母函数）就是一个幂级数，所以其收敛性可以用本章的定理来分析

第十五章 傅里叶级数

1. 本章研究由三角函数列\(1,\cos x,\sin x,\cos 2x, \sin 2x,\cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots\)（书中称为三角函数系(5)）产生的一般形式的三角级数\(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\)，书中称为级数(4)
2. 定理15.1：若级数\(\frac{\abs{a_0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(\abs{a_n}+\abs{b_n})\)收敛，则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。由定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）可证。
3. 在三角函数系(5)中，任何两个不相同的函数的乘积在\([-\pi,\pi]\)上的 积分都等于零，而(5)中任何一个函数的平方在\([-\pi,\pi]\)上的积分都不等于零。通常把两个函数在\([a,b]\)上可积且满足\(\int_a^b \phi(x)\psi(x)\dx=0\)的函数\(\phi\)和\(\psi\)称为在\([a,b]\)上是正交的。由此我们说三角函数系(5)在\([-\pi,\pi]\)上具有正交性，或说其是正交函数系。

4. 定理 15.2：若在整个数轴上\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\)且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式

   \[\begin{align} a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\dx,n=0,1,2,\cdots\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\dx,n=1,2,\cdots\\ \end{align}\]

   证明：使用逐项积分（定理13.13）。

5. 定理15.3：若以\(2\pi\)为周期的函数\(f\)在\([-\pi,\pi]\)上按段光滑（即该函数至多有有限个第一类间断点，且其导函数除了至多有限个点外都存在且连续，且在这有限个点上导函数的左、右极限存在），则在每一点\(x\in[-\pi,\pi]\)，\(f\)的傅里叶级数收敛于\(f\)在点\(x\)的左、右极限的算术平均值。即

   \[\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]

   证明非常复杂，需要用到贝塞耳（Bessel）不等式和另外的预备定理，略去。

6. 推论：若\(f\)是以\(2\pi\)为周期的连续函数，且在\([-\pi,\pi]\)上按段光滑，则\(f\)的傅里叶级数在\((-\infty,\infty)\)上收敛于\(f\)

第十六章 多元函数的极限与连续

1. 定义：平面点集（即有序实数对）、\(\delta\)圆邻域、\(\delta\)方邻域、点A的邻域（点A的任一圆邻域可以包含在点A的某一方邻域之内，反之亦然）记为\(U(A;\delta)\)或\(U(A)\)、点A的空心邻域记为\(U^\circ(A;\delta)\)或\(U^\circ(A)\)。注意邻域不包含使条件等于号成立的边界，例如圆邻域不包含圆周上的点。
2. 定义：
   • 内点：存在A的某邻域\(U(A)\)使得\(U(A)\subset E\)，称A是点集E的内点。E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作\(\mathrm{int}\,E\)
   • 外点：存在A的某邻域\(U(A)\)使得\(U(A)\cap E=\varnothing\)，称A是点集E的外点
   • 界点：在A的任何邻域内既有属于E的点又有不属于E的点
   • 聚点：在A的任何空心邻域内都有E中的点（A本身可以属于E也可以不属于E）
   • 孤立点：若A属于E但不是E的聚点
   • 孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点
   • 开集：若E所属的每一点都是E的内点
   • 闭集：若E的所有聚点都属于E，或E没有聚点
   • 约定空集既是开集又是闭集。可以证明，在一切平面点集中，只有\(\mathbf{R}^2\)与空集是既开又闭的点集
   • 开域：若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线（由有限条直线段连接而成的折线）相连接，则称E为开域或连通开集。WTF这里非常不严谨好吗？怎么定义折线？看wiki对连通的拓扑空间的定义。
   • 闭域：开域连同其边界所成的点集称为闭域。再一次WTF：什么是边界？
   • 区域：开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域
   • 有界点集：对于平面点集E，若存在某一正数\(r\)，使得\(E\subset U(O;r)\)，则称E是有界点集，否则就是无界点集。其中\(O\)是坐标原点或其他固定点
3. 定义：设\(\{P_n\}\subset \mathbf{R}^2\)为平面点列，\(P_0\in\mathbf{R}^2\)为一固定点。若对任给的正数\(\vae\)存在正整数\(N\)，使得当\(n>N\)时，有\(P_n\in U(P_0;\vae)\)，则称点列\(\{P_n\}\)收敛于点\(P_0\)，记作\(\lim_{n\to\infty}P_n=P_0\)或\(P_n\to P_0,n\to\infty\)。
4. 定理16.1（收敛的柯西准则）：平面点列\(\{P_n\}\)收敛的充要条件是，任给正数\(\vae\)，存在正整数\(N\)，使得当\(n>N\)时，对一切正整数\(p\)，都有\(\rho(P_n,P_{n+p})\lt\vae\)，其中\(\rho(P_1,P_2)\)定义为\(P_1\)和\(P_2\)之间的距离即对应坐标的差的平方和的平方根。证明需要使用三角不等式。
5. 定理16.2（闭域套定理）：设\(\{D_n\}\)是\(\mathbf{R}^2\)中的闭域列，它满足\(D_n\supset D_{n+1},n=1,2,\cdots\)以及\(d_n=d(D_n),\lim_{n\to\infty}d_n=0\)，则存在唯一的点\(P_0\in D_n,n=1,2,\cdots\)。其中\(d(E)=\sup_{P_1,P_2\in E}\rho(P_1,P_2)\)为E的直径。通过构造出一个点列并用定理16.1证明。闭域套定理是\(\mathbf{R}\)中闭区间套定理（定理7.1）的直接推广
6. 定理16.3（聚点定理）：设\(E\subset\mathbf{R}^2\)为有界无限点集，则E在\(\mathbf{R}^2\)中至少有一个聚点。通过构造一个闭域列，其中的每个闭域包含E的无限个点，然后用定理16.2证明。
7. 推论：\(\mathbf{R}^2\)中的有界无限点列必存在收敛子列
8. 定理16.4（有限覆盖定理）：设\(D\subset\mathbf{R}^2\)为一有界闭域，\(\{\Delta_\alpha\}\)为一开域族，它覆盖了\(D\)即\(D\subset\bigcup_\alpha\Delta_\alpha\)，则在\(\{\Delta_\alpha\}\)中必存在有限个开域\(\Delta_1,\Delta_2,\cdots,\Delta_n\)，它们同样覆盖了\(D\)即\(D\subset\bigcup_{i=1}^n\Delta_i\)。类似定理7.3的证明：反证法，不断二分该闭域使得其直径趋于零，必有其中一个子闭域不能被有限覆盖，构成一个闭域套，由闭域套定理推出矛盾
9. 二元函数和多元函数的定义
10. 定义：设\(f\)为定义在\(D\subset\mathbf{R}^2\)上的二元函数，\(P_0\)为\(D\)的一个聚点，\(A\)是一个确定的实数。若对任给正数\(\vae\)总存在某正数\(\delta\)，使得当\(P\in U^\circ(P_0;\delta)\cap D\)时，都有\(\abs{f(P)-A}<\vae\)，则称\(f\)在\(D\)上当\(P\to P_0\)时以\(A\)为极限，记作\(\lim_{P\to P_0,P\in D}f(P)=A\)
11. 定理16.5：\(\lim_{P\to P_0,P\in D}f(P)=A\)的充要条件是，对于\(D\)的任一子集\(E\)，只要\(P_0\)是\(E\)的聚点，就有\(\lim_{P\to P_0,P\in E}f(P)=A\)。证明：类似一元函数的海涅归结原则
12. 定义：设\(D\)为二元函数\(f\)的定义域，\(P_0\)是\(D\)的一个聚点。若对任给正数\(M\)，总存在点\(P_0\)的一个\(\delta\)邻域，使得当\(P(x,y)\in U^\circ(P_0;\delta)\cap D\)时，都有\(f(P)>M\)，则称\(f\)在\(D\)上当\(P\to P_0\)时，存在非正常极限\(+\infty\)，记作\(\lim_{P\to P_0}f(P)=+\infty\)
13. 上述两种极限定义中，两个自变量同时以任何方式趋于某一点，这种极限也称为重极限；而两个自变量依一定的先后顺序相继趋于某一点时的极限称为累次极限
14. 累次极限的定义\(\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y)\)
15. 累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系。例如\(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)当\((x,y)\to(0,0)\)时重极限不存在，但当\(y\ne0\)时两种累次极限均为0。但有如下定理。
16. 定理16.6：若\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)存在重极限\(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)\)与累次极限\(\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y)\)，则它们必相等
    • 推论：若重极限和两种累次极限都存在，则三者相等
    • 推论：若两种累次极限存在但不等，则重极限不存在
17. 连续性定义：设\(f\)为定义在点集\(D\subset\mathbf{R}^2\)上的二元函数，\(P_0\in D\)（它或者是\(D\)的聚点，或者是\(D\)的孤立点）。对于任给的正数\(\vae\)，总存在相应的正数\(\delta\)，只要\(P\in U(P_0;\delta)\cap D\)，就有\(f(P)-f(P_0)\lt\vae\)，则称\(f\)关于集合\(D\)在点\(P_0\)连续。由此定义可知，若\(P_0\)是\(D\)的孤立点，则\(P_0\)必定是\(f\)关于\(D\)的连续点；若\(P_0\)是\(D\)的聚点，则连续性等价于\(\lim_{P\to P_0,P\in D}f(P)=f(P_0)\)。
18. 若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则
19. 定义：全增量和偏增量
20. 定理16.7（复合函数的连续性）。
21. 定理16.8（有界性与最大、最小值定理）：若函数\(f\)在有界闭域\(D\subset\mathbf{R}^2\)上连续，则\(f\)在\(D\)上有界，且能取得最大值与最小值。证明：有界性：反证法，若无界，存在一个点列使函数值趋于无穷，但根据聚点定理该点列存在属于\(D\)的聚点，根据连续性，该聚点上的函数值有界，矛盾；能取得最大/最小值：构造连续函数\(F(P)=\frac{1}{\sup f(D)-f(P)}\)，可同样证明\(F\)有界，但这与分母可无限趋于零矛盾。
22. 定理16.9（一致连续性定理）：若函数\(f\)在有界闭域\(D\subset\mathbf{R}^2\)上连续，则\(f\)在\(D\)上一致连续，即对任何\(\vae>0\)，总存在只依赖于\(\vae\)的正数\(\delta\)，使得对一切点\(P\)、\(Q\)，只要\(\rho(P,Q)\lt\delta\)，就有\(\abs{f(P)-f(Q)}\lt\vae\)。证明过程使用聚点定理，类似于第七章对于一元函数一致连续性定理的证明（对应的定理为致密性定理）。
23. 定理16.10（介值性定理）：区域上的连续函数能取遍任意两个函数值之间的所有值（即存在相应的定义域上的点）。书中的证明用的是几何直观的方法，WTF？

第十七章 多元函数微分学

1. 定义：若函数\(f\)在点\(P_0\)处的全增量\(\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\)可表示为\(A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\)，其中\(\rho=\Delta x^2+\Delta y^2\)，\(o(\rho)\)是较\(\rho\)高阶的无穷小量，则称函数\(f\)在\((x_0,y_0)\)可微，并称\(A\Delta x+B\Delta y\)为\(f\)在\((x_0,y_0)\)的全微分，记作\(\dz\vert_{P_{0}}=\d f(x_{0},y_{0})=A\Delta x+B\Delta y\)
2. 偏导数的定义：当极限\(\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta_xf(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta_x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\)存在时该极限称为\(f\)在点\((x_0,y_0)\)关于\(x\)偏导数，记作\(f_x(x_0,y_0)\)或\(\pdd{f}{x}\Big\vert_{(x_0,y_0)}\)
3. 定理17.1（可微的必要条件）：可微=>关于每个自变量的偏导数都存在，且\(\d f\vert_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y=f_x(x_0,y_0)\dx+f_y(x_0,y_0)\dy\)。根据全微分和偏导数的定义（令全微分式子中的\(\Delta x\)或\(\Delta y\)为0然后求极限得到\(A\)和\(B\)等于两个偏导数）直接可得此结论。具体参见上册书笔记我对一元函数微分的理解。
4. 定理17.2（可微的充分条件）：若偏导数在所考察点的某邻域内存在且俩偏导数在所考察点处连续，则函数所考察点可微。证明：改写\(\Delta z=\p{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)}+\p{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}\)，右端两个减式分别使用一元函数的拉格朗日中值定理，再利用偏导连续的条件把式子怎么地写成\(A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\)的形式即可。
5. 偏导数连续并不是函数可微的必要条件。但若可微且偏导数也连续，就称为连续可微
6. 定理17.3（二元函数中值公式）：设函数\(f\)在点\((x_0,y_0)\)的某邻域内存在偏导数，若\((x,y)\)属于该邻域，则存在\(\xi=x_0+\theta_1(x-x_0)\)和\(\eta=y_0+\theta_2(y-y_0),0\lt\theta_1,\theta_2\lt1\)，使得\(f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(\xi,y)(x-x_0)+f_y(x_0,\eta)(y-y_0)\)。这其实是证明定理17.2过程中出现的公式。
7. 切平面的定义，简单来说就是满足以下性质的平面：曲面上动点以任何方式趋近于所考察点时恒有\(\frac{h}{d}\to0\)（其中\(h\)是动点到所考察平面的距离，\(d\)是动点到所考察点的距离）。所以变成解析几何了？WTF？
8. 定理17.4：曲面\(z=f(x,y)\)在点\(P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\)存在不平行于\(z\)轴的切平面的充要条件是函数\(f\)在点\(P_0(x_0,y_0)\)可微。根据切平面的定义以及可微的定义来证明。此定理说明若\(f\)在点\((x_0,y_0)\)可微，则曲面\(z=f(x,y)\)在点\(P(x_0,y_0,z_0)\)的切平面方程为\(z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)，据此可求得过\(P\)点的法线方程是\(\frac{(x-x_0)}{f_x(x_0,y_0)}+\frac{(y-y_0)}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}\)
   • 这里涉及点到平面的距离公式。

9. 定理17.5（复合函数求导的链式法则）：若函数\(x=\phi(s,t),y=\psi(s,t)\)在点\((s,t)\in D\)可微，\(z=f(x,y)\)在点\((x,y)=(\phi(s,t),\psi(s,t))\)可微，则复合函数\(z=f(\phi(s,t),\psi(s,t))\)在点\((s,t)\)可微，且它关于\(s\)与\(t\)的偏导数分别为

   \[\begin{align} \cond{\pdd{z}{s}}_{(s,t)}=\cond{\pdd{z}{x}}_{(x,y)}\cond{\pdd{x}{s}}_{(s,t)}+\cond{\pdd{z}{y}}_{(x,y)}\cond{\pdd{y}{s}}_{(s,t)}\\ \cond{\pdd{z}{t}}_{(s,t)}=\cond{\pdd{z}{x}}_{(x,y)}\cond{\pdd{x}{t}}_{(s,t)}+\cond{\pdd{z}{y}}_{(x,y)}\cond{\pdd{y}{t}}_{(s,t)} \end{align}\]

   证明方法就是把\(x\)和\(y\)的全增量（用\(s\)和\(t\)表示）式子代入\(z\)的全增量表达式，并将其写成微分的增量表示形式。

10. 多元函数的一阶（全）微分形式不变性：对于复合函数\(z=f(x,y),x=\varphi(s,t),y=\psi(s,t)\)，有\(\dz=\pdd{z}{x}\dx+\pdd{z}{y}\dy\)，其中\(\dx=\pdd{x}{s}\ds+\pdd{x}{t}\dt, \dy=\pdd{y}{s}\ds+\pdd{y}{t}\dt\)
11. 方向导数的定义：即极限\(\lim_{\rho\to 0^+}\frac{f(P)-f(P_0)}{\rho}\)（要求其存在）。其中\(P\)为从\(P_0\)出发所考察方向上的一点，\(\rho\)为\(P\)和\(P_0\)两点间距离
12. 定理17.6：若三元函数\(f\)在点\(P_0(x_0,y_0,z_0)\)可微，则\(f\)在点\(P_0\)处沿任一方向\(l\)的方向导数都存在，且\(f_l(P_0)=f_x(P_0)\cos\alpha+f_y(P_0)\cos\beta+f_z(P_0)\cos\gamma\)，其中\(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\)为方向\(l\)的方向余弦。证明过程就是把全微分的定义式改写成方向导数的定义式。
13. 梯度的定义：三元函数\(f\)的梯度（向量）为\(\mathrm{grad}\,f=(f_x(P_0),f_y(P_0),f_z(P_0))\)。于是方向导数公式又可以写成\(f_l(P_0)=\abs{\mathrm{grad}\,f(P_0)}\cos\theta\)，因此当\(\theta=0\)时即梯度方向使得\(f\)增长最快，\(\theta=\pi\)时减少最快。
    • 内积的坐标形式和余弦形式为什么相等：
      • 如果把坐标形式作为内积的定义，那么这两者相等就是定义，不是定理。定义过程为：内积的定义就是\(x\cdot y=(s_1,b_1)\cdot(s_2,b_2)=s_1s_2+b_1b_2\)，这个时候长度、夹角这些东西都还不存在。有了这个内积之后，才能写长度的定义\(\abs{\alpha}=\sqrt{\alpha\cdot\alpha}\)。这个时候两个向量才有了夹角余弦\(\cos\theta=\frac{x\cdot y}{\abs{x}\abs{y}}\)。具体参见这里。

      • 如果从引入欧几里得几何、再在平面内引入平面直角坐标系、然后重新定义三角函数、最后用有向线段引入向量、然后用三角函数和模定义内积的高中教学思路，就可以这么证明：

        \[\begin{align} a\cdot b&=\abs{a}\abs{b}\cos\theta\\ &=\abs{a}\abs{b}(\cos(\theta_1-\theta_2))\\ &=\abs{a}\abs{b}(\sin\theta_1\sin\theta_2+\cos\theta_1\cos\theta_2)\\ &=(\abs{a}\sin\theta_1)(\abs{b}\sin\theta_2)+(\abs{a}\cos\theta_1)(\abs{b}\cos\theta_2)\\ &=a_x b_x+a_y b_y \end{align}\]

        具体参见这里。

14. 定理17.7：若\(f_{xy}(x,y)\)和\(f_{yx}(x,y)\)都在点\((x_0,y_0)\)连续，则\(f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)\)。其中\(f_{xy}(x,y)\)表示\(f(x,y)\)的二阶偏导函数（先对\(x\)求一阶偏导再对\(y\)求一阶偏导）。证明：令\(F(\Delta x,\Delta y)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta y,y_0)-f(x_0,y_0+\Delta y)+f(x_0,y_0)\)，通过一元函数中值定理可以得到\(F(\Delta x,\Delta y)=f_{xy}(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\theta_2\Delta y)\Delta x\Delta y=f_{yx}(x_0+\theta_3\Delta x,y_0+\theta_4\Delta y)\Delta x\Delta y\)，再利用连续性得证。
15. 凸区域的定义：对任意两点\(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)\in D\)和一切\(\lambda(0le\lambda\le1)\)，恒有\(P(x_1+\lambda(x_2-x_1),y_1+\lambda(y_2-y_1))\in D\)
16. 定理17.8（二元函数在凸域上的中值公式）：设二元函数\(f\)在凸开域\(D\subset\mathbf{R}^2\)上连续，在\(D\)的所有内点都可微，则对\(D\)内任意两点\(P(a,b),Q(a+h,b+k)\in D\)，存在某\(\theta(0\lt\theta\lt1)\)，使得\(f(a+h,b+k)-f(a,b)=f_x(a+\theta h,b+\theta k)h+f_y(a+\theta h,b+\theta k)k\)。证明：对\(\Phi(t)=f(a+th,b+tk)\)在\(t\in[0,1]\)上使用一元函数的微分中值定理，然后对\(\Phi(\theta)\)应用复合函数求导法则即得
17. 定理17.9（二元函数的泰勒定理）。公式巨复杂，从略。
18. 定理17.10（极值必要条件）：若函数\(f\)在点\(P_0(x_0,y_0)\)存在偏导数，且在\(P_0\)取得极值，则有\(f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0\)。参加定理5.3的证明
19. 定理17.11（极值充分条件）：设二元函数\(f\)在点\(P_0(x_0,y_0)\)的某邻域\(U(P_0)\)内具有二阶连续偏导数，且\(P_0\)是\(f\)的稳定点（即\(f_x(P_0)=f_y(P_0)=0\)）。则当黑赛矩阵\(H_f(P_0)=\begin{pmatrix} f_{xx}(P_0) & f_{xy}(P_0) \\ f_{yx}(P_0) & f_{yy}(P_0) \\ \end{pmatrix}\)是正定矩阵时，\(f\)在\(P_0\)取得极小值；当\(H_f(P_0)\)是负定矩阵时，\(f\)在\(P_0\)取得极大值；当\(H_f(P_0)\)是不定矩阵时，\(f\)在\(P_0\)不取极值。证明：对极小值，使用\(f\)在点\(P_0\)的二阶泰勒公式，结合正定矩阵的定义来证明\(f(x,y)-f(x_0,y_0)\ge0\)。极大值类似。不取极值用反证法。

我的小结

• 搞清楚几个概念的关系：
  • （偏）导数和全微分的定义（分别考虑一元和多元函数）
  • 求复合函数的（偏）导数的链式法则（分别考虑一元和多元复合函数）
  • 复合函数的全微分的形式不变性（分别考虑一元和多元复合函数）
  • 偏导数、方向导数、梯度的关系：偏导数是一种特殊的方向导数（方向为坐标轴）；梯度是一个向量，每个方向上的值等于函数在该点的偏导数值

第十八章 隐函数定理及其应用

1. 定义：设\(E\subset\mathbf{R}^2\)，函数\(F:E\to\mathbf{R}^2\)。对于方程\(F(x,y)=0\)若存在集合\(I,J\subset E\)，对于任何\(x\in I\)，有惟一确定的\(y\in J\)，使得\((x,y)\in E\)且满足该方程，则称由该方程确定一个定义在\(I\)上，值域含于\(J\)的隐函数
2. 定理18.1（隐函数存在唯一性定理）：若函数\(F(x,y)\)满足下列条件：
   • \(F\)在以\(P_0(x_0,y_0)\)为内点的某一区域\(D\subset\mathbf{R}^2\)上连续；
   • \(F(x_0,y_0)=0\)（称为初始条件）；
   • \(F\)在\(D\)内存在连续的偏导数\(F_y(x,y)\)；
   • \(F_y(x_0,y_0)\ne0\)。

   则：

   • 存在点\(P_0\)的某邻域\(U(P_0)\subset D\)在\(U(P_0)\)上方程\(F(x,y)=0\)唯一地决定了一个定义在某区间\((x_0-\alpha,x_0+\alpha)\)上的（隐）函数\(y=f(x)\)，使得当\(x\in(x_0-\alpha,x_0+\alpha)\)时，\((x,f(x))\in U(P_0)\)，且\(F(x,f(x))=0,f(x_0)=y_0\)
   • \(f(x)\)在\((x_0-\alpha,x_0+\alpha)\)上连续

   证明：由第四个条件不妨设\(F_y(x_0,y_0)\gt0\)，由第三个条件根据局部保号性存在\(P_0\)的一个方邻域使得在其上每一点都有\(F_y(x,y)\gt0\)，因此对该邻域内每个固定的\(x\)，\(F(x,y)\)作为\(y\)的一元函数必定在该邻域沿\(y\)递增方向严格增且连续。又由第二个条件知道一元函数\(F(x_0,y)\)在该邻域的\(y\)小的一端\(y_1\)小于0另一端\(y_2\)大于0，再由第一个条件又知道一元函数\(F(x,y_1)\)和\(F(x,y_2)\)在某个\(x_0\)的邻域也是连续的，因此又由局部保号性对于该邻域的每个固定的\(x\)都有\(F(x,y_1)\lt0\lt F(x,y_2)\)，这样根据介值性定理存在唯一的\(y\)满足\(F(x,y)=0\)，这样就证明了第一点（隐函数的存在性）。第二点（连续性）直接用连续的定义即可证。

3. 定理18.2（隐函数可微性定理）：满足定理18.1的四个条件的\(F(x,y)\)如果在\(D\)上还存在连续的偏导数\(F_x(x,y)\)，则由\(F(x,y)=0\)确定的隐函数在其定义域上有连续导函数\(f'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\)。证明：由\(F(x,y)=0,F(x+\Delta x,y+\Delta y)=0\)，再由\(F_x,F_y\)的连续性（因此可以）应用二元函数中值定理，得\(0=F_x(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)\Delta x+F_y(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)\Delta y\)，移项并取极限即得所求证结果。
4. 定理18.3是定理18.1的多元函数的版本。无证明。
5. 定理18.4（隐函数组定理）和定理18.1类似，但是讨论的对象是“多元一次”隐函数组且需要用雅克比行列式的性质。无证明。
6. 定理18.5（反函数组定理）和定理18.4类似但是讨论的是隐函数组的反函数组。无证明。
7. 应用：
   • 通过显函数\(y=f(x)\)在某点的切线和法线方程，利用定理18.2可以求得以隐函数形式表示的切线和法线方程
   • 同理通过参数方程表示的空间曲线的切线和法平面方程，可求得由隐函数组表示的对应的方程
   • 同样可以讨论曲面的切平面与法线方程

8. 定理18.6（求条件极值的拉格朗日乘数法）：设在条件\(\varphi_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0,k=1,2,\cdots,m(m\lt n)\)的限制下求目标函数\(y=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)的极值，其中\(f\)与\(\varphi_k(k=1,2,\cdots,m)\)在区域\(D\)上有连续的一阶偏导数。若\(D\)的内点\(P_0(x_1^{(0)},\cdots,x_n^{(0)})\)是上述问题的极值点，且雅克比矩阵

   \[\begin{pmatrix} \pdd{\varphi_1}{x_1} & \cdots & \pdd{\varphi_1}{x_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \pdd{\varphi_m}{x_1} & \cdots & \pdd{\varphi_m}{x_n} \\ \end{pmatrix}_{P_0}\]

   的秩为\(m\)，则存在\(m\)个常数\(\lambda_1^{(0)},\cdots,\lambda_m^{(0)}\)，使得\((x_1^{(0)},\cdots,x_n^{(0)},\lambda_1^{(0)},\cdots,\lambda_m^{(0)})\)为拉格朗日函数

   \[L(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)+\sum_{k=1}^m \lambda_k\varphi_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)\]

   的稳定点，即\((x_1^{(0)},\cdots,x_n^{(0)},\lambda_1^{(0)},\cdots,\lambda_m^{(0)})\)为\(n+m\)个方程

   \[\left\{ \begin{array}{l} L_{x_1}=\pdd{f}{x_1}+\sum_{k=1}^m\lambda_k\pdd{\varphi_k}{x_1}=0\\ \cdots\\ L_{x_n}=\pdd{f}{x_n}+\sum_{k=1}^m\lambda_k\pdd{\varphi_k}{x_n}=0\\ L_{\lambda_1}=\varphi_1(x_1,\cdots,x_n)=0\\ \cdots\\ L_{\lambda_m}=\varphi_m(x_1,\cdots,x_n)=0 \end{array} \right.\]

   的解。下面直观地证明\(n=1,m=1\)时的情况：此时求的是条件\(C:\varphi(x,y)=0\)下函数\(z=f(x,y)\)的极值。若把\(C\)看作\((x,y)\)满足的曲线方程，并设\(C\)上的点\(P_0(x_0,y_0)\)为\(f\)在条件\(C\)下的极值点，且在点\(P_0\)的某邻域上方程\(C\)能唯一确定可微的隐函数\(y=g(x)\)，则\(x=x_0\)必定也是\(z=f(x,g(x))=h(x)\)的极值点。故由\(f\)在\(P_0\)可微，\(g\)在\(x_0\)可微得到\(h'(x_0)=f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)g'(x_0)=0\)，而当\(\varphi\)满足隐函数定理条件时\(g'(x_0)=-\frac{\varphi_x(x_0,y_0)}{\varphi_y(x_0,y_0)}\)，代入后有\(f_x(P_0)\varphi_y(P_0)-f_y(P_0)\varphi_x(P_0)=0\)，从而存在某一常数\(\lambda_0\)使得在\(P_0\)处满足

   \[\left\{ \begin{array}{l} L_x(x_0,y_0,\lambda_0)=f_x(P_0)+\lambda_0\varphi_x(P_0)=0\\ L_y(x_0,y_0,\lambda_0)=f_y(P_0)+\lambda_0\varphi_y(P_0)=0\\ L_{\lambda}(x_0,y_0)=\varphi(P_0)=0 \end{array} \right.\]

第十九章 含参量积分

含参量（正常）积分

1. 含参量\(x\)的（正常）积分（简称含参量积分）：\(\varphi(x)=\int_c^d f(x,y)\dy,x\in[a,b]\)或\(F(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\dy,x\in[a,b]\)。要求对于\([a,b]\)上每个固定的\(x\)，\(f(x,y)\)作为\(y\)的函数在闭区间\([c,d]\)或\([c(x),d(x)]\)上可积。注意：含参量积分是一个函数，该函数的表达式是积分的形式。
2. 定理19.1（连续性）：若\(f(x,y)\)在\([a,b]\times[c,d]\)上连续则\(\varphi(x)=\int_c^d f(x,y)\dy\)在\([a,b]\)上连续。证明：用连续性定义，考虑\(\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)=\int_c^d \p{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}\dy\)。
3. 推论：对于满足上述定理的任何\(x_0\in[a,b]\)都有\(\lim_{x\to x_0}\int_c^d f(x,y)\dy=\int_c^d\lim_{x\to x_0}f(x,y)\dy\)。
4. 定理19.2（连续性）：若\(f(x,y)\)在\(\{(x,y)\vert c(x)\le y\le d(x),a\le x\le b\}\)上连续，其中\(c(x)\)和\(d(x)\)均为\([a,b]\)上的连续函数，则函数\(F(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\dy\)在\([a,b]\)上连续。证明：令\(y=c(x)+t\p{d(x)-c(x)},t\in[0,1]\)并对该\(F(x)\)使用换元积分法，可以得到定理19.1的形式。
5. 定理19.3（可微性）：若\(f(x,y)\)与其偏导数\(\pdd{}{x}f(x,y)\)都在矩形区域\([a,b]\times[c,d]\)上连续，则\(\varphi(x)=\int_c^d f(x,y)\dy\)在\([a,b]\)上可微，且\(\dd{ }{x}\int_c^d f(x,y)\dy=\int_c^d\pdd{}{x}f(x,y)\dy\)。证明：实际上就是证明\(\abs{\frac{\Delta\varphi}{\Delta x}-\int_c^d f_x(x,y)\dy}\)在\(\Delta x\)足够小时可以任意小，通过拉格朗日中值定理和连续性（从而有一致连续性）以及放缩法可证。
6. 定理19.4（可微性）：设\(f(x,y)\)，\(f_x(x,y)\)在\([a,b]\times[p,q]\)上连续，\(c(x)\)，\(d(x)\)为定义在\([a,b]\)上其值含于\([p,q]\)内的可微函数，则\(F(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\dy\)在\([a,b]\)上可微，且\(F'(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}f_x(x,y)\dy+f(x,d(x))d'(x)-f(x,c(x))c'(x)\)。证明：把\(F(x)\)看作复合函数\(F(x)=H(x,c,d)=\int_c^d f(x,y)\dy,c=c(x),d=d(x)\)，由复合函数求导法则、变上（下）限积分求导法则以及定理19.3可证。
7. 定理19.5（可积性）：若\(f(x,y)\)在\([a,b]\times[c,d]\)上连续，则\(\varphi(x)\)和\(\psi(y)\)分别在\([a,b]\)和\([c,d]\)上可积。分别记作\(\int_a^b\dx\int_c^d f(x,y)\dy\)和\(\int_c^d\dy\int_a^b f(x,y)\dx\)，称为累次积分或二次积分。由定理19.1和定理19.2连续性即可证。
8. 定理19.6：若\(f(x,y)\)在\([a,b]\times[c,d]\)上连续则上述两个二次积分相等。证明：把固定上限\(b\)变为可变上限\(u\)，对左右两边分别对\(u\)求导，结果均为\(\varphi(u)\)（其中右边需要用定理19.3才能把偏导符号和积分符号交换）。

含参量（反常）积分

1. 含参量\(x\)的无穷限反常积分（简称含参量反常积分）：\(\Phi(x)=\int_c^{+\infty}f(x,y)\dy,x\in[a,b]\)，要求对每个固定的\(x\)它都收敛
2. 一致收敛的定义：若对任给\(\epsilon\gt0\)，总存在实数\(N>c>0\)，使得当\(M>N\)时对一切\(x\in[a,b]\)都有\(\abs{\int_c^M f(x,y)\dy-\Phi(x)}\lt\epsilon\)则称该反常积分在定义域上一致收敛于\(\Phi(x)\)
3. 定理19.7（一致收敛的柯西准则）：对任给\(\epsilon\gt0\)，总存在实数\(M>c\)，使得当\(A_1,A_2\gt M\)时对一切\(x\in[a,b]\)都有\(\abs{\int_{A_1}^{A_2}f(x,y)\dy}\lt\epsilon\)
4. 定理19.8：\(\Phi(x)\)一致收敛的充要条件是\(\lim_{A\to+\infty}F(A)=0\)，其中\(F(A)=\sup_{x\in[a,b]}\abs{\int_A^{+\infty}f(x,y)\dy}\)。由定义即得。
5. 定理19.9：\(\Phi(x)\)一致收敛的充要条件是，对任一趋于正无穷的递增数列\(\{A_n\}\)（其中\(A_1=c\)），函数项级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\int_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,y)\dy=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)在\([a,b]\)上一致收敛。必要性显然，充分性用反证法。
6. 含参量反常积分的一致收敛性判别法（证明从略，因与函数项级数相应的判别法相仿）
   • 魏尔斯特拉斯M判别法
   • 狄利克雷判别法
   • 阿贝尔判别法
7. 定理19.10（连续性）：设\(f(x,y)\)在\([a,b]\times[c,+\infty)\)上连续，若\(\Phi(x)=\int_c^{+\infty}f(x,y)\dy\)在\([a,b]\)上一致收敛，则\(\Phi(x)\)在\([a,b]\)上连续。证明：通过定理19.9，对应的函数项级数一致收敛，而由定理19.2每一项函数都连续，根据函数项级数的连续性定理\(\Phi(x)\)连续。这个定理表明，在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换：\(\lim_{x\to x_0}\int_c^{+\infty}f(x,y)\dy=\int_c^{+\infty}\lim_{x\to x_0}f(x,y)\dy\)
8. 定理19.11（可微性）：设\(f(x,y)\)和\(f_x(x,y)\)在\(I\times[c,+\infty)\)上连续，若\(\Phi(x)=\int_c^{+\infty}f(x,y)\dy\)在\(I\)上收敛，\(\int_c^{+\infty}f_x(x,y)\dy\)在\(I\)上一致收敛，则\(\Phi(x)\)在\(I\)上可微且\(\Phi'(x)=\int_c^{+\infty}f_x(x,y)\dy\)。证明：同样的，拆为函数项级数，每项由定理19.3均可微，而由19.9知该函数项级数一致收敛，最后由函数项级数的逐项求导定理即得。这个定理表明求导和积分符号可交换：\(\dd{ }{x}\int_c^{+infty}f(x,y)\dy=\int_c^{+\infty}\pdd{}{x}f(x,y)\dy\)
9. 定理19.12（可积性）：若\(f(x,y)\)在\([a,b]\times[c,+\infty)\)上连续，若\(\Phi(x)\)在\([a,b]\)上一致收敛，则\(\Phi(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(\int_a^b\dx\int_c^{+\infty}f(x,y)\dy=\int_c^{+\infty}\dy\int_a^b f(x,y)\dx\)。证明：19.10说明\(\Phi(x)\)连续故可积，而从19.10的证明中应用函数项级数的逐项求积定理即得。
10. 定义：若在区间\(I\)的任一闭子区间上反常积分都一致收敛，则称该反常积分在\(I\)上内闭一致收敛
11. 定理19.3：设\(f(x,y)\)在\([a,+\infty)\times[c,+\infty)\)上连续。若：
    • (i) \(\int_a^{+\infty}f(x,y)\dx\)关于\(y\)在\([c,+\infty)\)上内闭一致收敛，\(\int_c^{+infty}f(x,y)\dy\)关于\(x\)在\([a,+\infty)\)上内闭一致收敛
    • (ii) 积分\(\int_a^{+\infty}\dx\int_c^{+\infty}\abs{f(x,y)}\dy\)与\(\int_c^{+\infty}\dy\int_a^{+\infty}\abs{f(x,y)}\dx\)中有一个收敛

    则\(\int_a^{+\infty}\dx\int_c^{+\infty}f(x,y)\dy=\int_c^{+\infty}\dy\int_a^{+\infty}f(x,y)\dx\)，即两个“累次反常积分”相等。主要思路就是证明\(J_d=\abs{\int_c^d\dy\int_a^{+\infty}f(x,y)\dx-\int_a^{+\infty}\dx\int_c^{+\infty}f(x,y)\dy}=\abs{\int_a^{+\infty}\dx\int_d^{+\infty}f(x,y)\dy}\le\frac{\vae}{2}+\frac{\vae}{2}=\vae\)，其中第二个等号由条件(i)和19.12推得，小于等于号由条件(ii)和内一致收敛性推得

欧拉积分

以下函数统称为欧拉积分，本节就是研究它们的各种性质（连续性，递推公式，延拓等）：

• 伽玛函数\(\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\dx,s\gt0\)
• 贝塔函数\(\mathrm{B}(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\dx,p\gt0,q\gt0\)

第二十章 曲线积分（即所谓路径积分）

1. 定义：设\(L\)为平面上可求长度的曲线段（关于“可求长”参见第十章弧长的定义），\(f(x,y)\)为定义在\(L\)上的函数，对\(L\)作分割\(T\)，它把\(L\)分成\(n\)个可求长度的小曲线段\(L_i\)，\(L_i\)的弧长记为\(\Delta s_i\)，分割\(T\)的细度为\(\Vert T\Vert=\max_{1\le i\le n}\Delta s_i\)，在\(L_i\)上任取一点\((\xi_i,\eta_i)\)，若有极限\(\lim_{\Vert T\Vert\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i=J\)且\(J\)的值于分割点\((\xi_i,\eta_i)\)的取法无关，则称此极限为\(f(x,y)\)在\(L\)上的第一型曲线积分，记为\(\int_L f(x,y)\ds\)。类似可定义三维空间曲线上的第一型曲线积分\(\int_L f(x,y,z)\ds\)
2. 第一型曲线积和定积分有相似的性质：
   • 不同积分的线性组合那些常数因子可以放进积分号后面积分值不变
   • 不同曲线拼接而成的曲线的第一型曲线积分等于各个曲线段上的第一型曲线积分的和
   • 若在曲线上一函数的值总是小于等于另一函数则关于该函数的第一型曲线积分值也小于另一个函数的
   • 积分的绝对值小于等于函数绝对值的积分
   • 存在介于\([\inf_L f(x,y),\sup_L f(x,y)]\)的常数\(c\)使第一型曲线积分的值等于\(cs\)（\(s\)为\(L\)的弧长）

3. 定理20.1（参数方程表示的曲线的第一型曲线积分的计算）：设有光滑曲线 \(L:\left\{ \begin{array}{l} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t), \end{array} \right. t\in[\alpha,\beta]\)，函数\(f(x,y)\)为定义在\(L\)上的连续函数，则

   \[\int_L f(x,y)\ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\dt\]

   证明：由弧长公式、各个函数的连续性和积分中值定理可得

   \[\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i=\sum_{i=1}^n f(\varphi(\tau''_i),\psi(\tau''_i))\sqrt{\varphi'^2(\tau''_i)+\psi'^2(\tau''_i)}\Delta t_i+\sigma\]

   其中

   \[\sigma=\sum_{i=1}^n f(\varphi(\tau''_i),\psi(\tau''_i))\p{\sqrt{\varphi'^2(\tau'_i)+\psi'^2(\tau'_i)}-\sqrt{\varphi'^2(\tau''_i)+\psi'^2(\tau''_i)}}\Delta t_i\]

   然后证明\(\lim_{\Delta t\to0}\sigma=0\)，最后由定积分的定义即得结果。当曲线\(L\)由方程\(y=\psi(x),x\in[a,b]\)表示且\(\psi(x)\)在\([a,b]\)上有连续的导函数时，第一型曲线积分成为\(\int_L f(x,y)\ds=\int_a^b f(x,\psi(x))\sqrt{1+\psi'^2(x)}\dx\)。

4. 类似地，由参数方程表示的三维空间曲线的第一型曲线积分为

   \[\int_L f(x,y,z)\ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t),\psi(t),\chi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)+\chi'^2(t)}\dt\]

5. 定义：设函数\(P(x,y)\)与\(Q(x,y)\)定义在平面有向可求长度曲线\(L:\overparen{AB}\)上，对\(L\)的任一分割\(T\)，它把\(L\)分成\(n\)个小弧段\(\overparen{M_{i-1}M_i}(i=1,2,\cdots,n)\)，其中\(M_0=A,M_n=B\)。记各小弧段\(\overparen{M_{i-1}M_i}\)的弧长为\(\Delta s_i\)，分割\(T\)的细度\(\Vert T\Vert=\max_{1\le i\le n}\Delta s_i\)。又设\(T\)的分点\(M_i\)的坐标为\((x_i,y_i)\)，并记\(\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\Delta y_i=y_i-y_{i-1}(i=1,2,\cdots,n)\)。在每个小弧段\(\overparen{M_{i-1}M_i}\)上任取一点\((\xi_i,\eta_i)\)，若极限

   \[\lim_{\Vert T\Vert\to0}\sum_{i=1}^n P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+\lim_{\Vert T\Vert\to0}\sum_{i=1}^n Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i\]

   存在且与分割\(T\)和点\((\xi_i,\eta_i)\)的取法无关，则称此极限为函数\(P(x,y),Q(x,y)\)沿有向曲线\(L\)上的第二型曲线积分，记为

   \[\int_L P(x,y)\dx+Q(x,y)\dy\]

   或

   \[\int_{AB} P(x,y)\dx+Q(x,y)\dy\]

   。常简写为\(\int_L P\dx+Q\dy\)或\(\int_{AB}P\dx+Q\dy\)。若\(L\)为封闭的有向曲线，则记为\(\oint P\dx+Q\dy\)。若记\(\boldsymbol{F}(x,y)=\p{P(x,y),Q(x,y)},\d \boldsymbol{s}=(\dx,\dy)\)，则该积分又可写成向量形式\(\int_L\boldsymbol{F}\cdot\d \boldsymbol{s}\)或\(\int_{AB}\boldsymbol{F}\cdot\d \boldsymbol{s}\)，于是力\(\boldsymbol{F}(x,y)=\p{P(x,y),Q(x,y)}\)沿有向曲线\(L:\overparen{AB}\)对质点所作的功为\(W=\int_L P(x,y)\dx+Q(x,y)\dy\)

6. 性质：
   • 不同积分的线性组合那些常数因子可以放进积分号后（里）面，积分值不变
   • 首尾相接的有向曲线拼接而成的有向曲线的第二型曲线积分等于各个曲线上的第二型曲线积分的和
7. 和第一型曲线积分类似，对于参数方程表示的曲线的第二型曲线积分也可以化为定积分来计算。设平面曲线 \(L:\left\{ \begin{array}{l} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t), \end{array} \right. t\in[\alpha,\beta]\)，其中\(\varphi(t),\psi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)上具有一阶连续导函数，且点\(A\)与\(B\)的坐标分别为\((\varphi(\alpha),\psi(\alpha))\)与\((\varphi(\beta),\psi(\beta))\)。又设\(P(x,y)\)与\(Q(x,y)\)为\(L\)上的连续函数，则沿\(L\)从\(A\)到\(B\)的第二型曲线积分\(\int_L P(x,y)\dx+Q(x,y)\dy=\int_{\alpha}^{\beta}\p{P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)}\dt\)。证明和定理20.1类似。

8. 可以通过曲线切线方向和量坐标轴的夹角的余弦建立起第一和第二型曲线积分的关系，即把第二型曲线积分表示为第一型曲线积分的形式（反之不行？），关系式为：

   \[\int_L P\dx+Q\dy = \int_L \p{ P(x,y)\cos(\widehat{\boldsymbol{t},x}) + Q(x,y)\cos(\widehat{\boldsymbol{t},y}) } \ds\]

   其中\((\widehat{\boldsymbol{t},x}),(\widehat{\boldsymbol{t},y})\)分别表示切线方向\(\boldsymbol{t}\)与\(x\)轴和\(y\)轴正向的夹角。

第二十一章 重积分

二重积分的概念和直角坐标系下二重积分的计算方法

1. 定义：若平面图形\(P\)的内面积\(\underline{I_p}\)等于其外面积\(\overline{I_p}\)，则称\(P\)为可求面积，并称其共同值\(I_p=\underline{I_p}=\overline{I_p}\)为\(P\)的面积。其中\(I_p=\underline{I_p}=\sup_T\{s_P(T)\}\)，\(\overline{I_p}=\inf_T\{S_P(T)\}\)，而\(s_P(T)\)和\(S_P(T)\)分别表示以直线网切割该平面图形所得的所有只含该图形内点的矩形的面积之和以及所有含有该图形内点的矩形的面积之和。

   • WTF？又一次用直观几何语言来描述定义？怎么定义矩形的面积？怎么用数学公式来表示那个面积的和？
   • 正确的做法应该是用测度吧？
   • 所以存在内外面积不等的平面图形？？？

2. 定理21.1：平面有界图形\(P\)可求面积的充要条件是总存在直线网\(T\)使\(S_P(T)-s_P(T)\)可以任意小
3. 定理21.2：可求面积的充要条件是边界面积为0
4. 定理21.3：由定义在某闭区间上的连续函数定义的曲线的面积为0。这个书上证明又是几何方法WTF？？？
5. 定义：\(D\)为\(xy\)平面上可求面积的有界闭域，\(f(x,y)\)为定义在\(D\)上的函数，用任意曲线把\(D\)分成\(n\)个可求面积的小区域\(\sigma_i(i=1,2,\cdots,n)\)，以\(\Delta\sigma_i\)表示\(\sigma_i\)的面积，这些小区域构成\(D\)的一个分割\(T\)，以\(d_i\)表示\(\sigma_i\)的直径，称\(\Vert T\Vert=\max_{1\le i\le n}d_i\)为分割\(T\)的细度。在每个\(\sigma_i\)上任取一点\((\xi_i,\eta_i)\)，称和式\(\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\)为函数\(f(x,y)\)在\(D\)上属于分割\(T\)的一个积分和。\(J\)为某确定的数，若对任意正数\(\epsilon\)总存在某正数\(\delta\)，使对于\(D\)的任何分割\(T\)，只要其细度\(\Vert T\Vert\lt\delta\)，属于\(T\)的所有积分和和\(J\)的差的绝对值都小于\(\epsilon\)，则称\(f(x,y)\)在\(D\)上可积，\(J\)称为函数\(f(x,y)\)在\(D\)上的二重积分，记为\(J=\iint_D f(x,y)\d \sigma\)。
6. 定理21.4：二重可积的充要条件是当分割细度趋于0时积分上和等于积分下和（上和\(S(T)=\sum_{i=1}^n\p{\sup_{(x,y)\in\sigma_i}f(x,y)}\Delta\sigma_i\)，下和类似）
7. 定理21.5：二重可积的充要条件是上下和之差可以任意小
8. 定理21.6：有界闭域上的连续函数必二重可积
9. 定理21.7：定义在有界闭域上的不连续点集是零面积集的函数二重可积。类似于一元函数连续必可积的证明（定理9.4）：闭区域连续\(\Rightarrow\)一致连续\(\Rightarrow\)上下和之差可以任意小（定理21.5）
10. 二重积分的性质
    • 二重可积函数的常数倍也二重可积
    • 俩二重可积函数的和/差也二重可积
    • 在两个无公共内点的有界闭域上都二重可积的函数在该俩闭域的并上也可积
    • 若俩函数在同一有界闭域上可积且一函数值恒小于等于另一函数值，则第一个函数的二重积分值小于等于第二个函数的二重积分值
    • 二重可积函数的绝对值函数也二重可积且原函数二重积分的绝对值小于等于绝对值函数的二重积分值
    • （中值定理）若函数在有界闭域上连续，则该闭域上存在一点使得该函数在该闭域上的二重积分值等于该点的函数值和该区域面积的乘积（目测由上面第四个性质可证）
11. 定理21.8：设函数\(f(x,y)\)在矩形区域\(D=[a,b]\times[c,d]\)上二重可积，且对每个\(x\in[a,b]\)积分\(\int_c^d f(x,y)\dy\)都存在，则累次积分\(\int_a^b\dx\int_c^d f(x,y)\dy\)也存在且二重积分值和它相等。证明思路：讨论\(\sum_{i=1}^n\int_c^d f(\xi_i,y)\dy\)，可以证明它和二重积分的值相等（两边夹逼法，然后根据二重积分的定义），也和累次积分的值相等（由定积分的定义）
12. 定理21.9和21.8类似，只是把\(x\)和\(y\)交换

13. 推论：特别地，当\(f(x,y)\)在矩形区域\(D=[a,b]\times[c,d]\)上连续时，有

    \[\iint_D f(x,y)\d \sigma=\int_a^b\dx\int_c^d f(x,y)\dy=\int_c^d\dy\int_a^bf(x,y)\dx\]

    证明就是，根据定理21.5\(f(x,y)\)二重可积，而由\(f(x,y)\)的连续性显然有对每个\(x\in[a,b]\)积分\(\int_c^d f(x,y)\dy\)都存在，故根据21.8和21.9即得（不需要用到含参量积分）。

14. 定理21.10：若\(f(x,y)\)在区域\(D=\{(x,y)\vert y_1(x)\le y\le y_2(x),a\le x\le b\}\)上连续，其中\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\(\iint_D f(x,y)\d \sigma=\int_a^b\dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\dy\)。证明：拿另外一个区域\(D'=[a,b]\times[c,d]\)包着\(D\)，在\(D'\)上用定理21.8可证。

格林公式

1. 定理21.11（格林公式，二重积分和边界曲线上的第二型曲线积分的关系）：若\(P(x,y),Q(x,y)\)在有界闭区域\(D\)上连续且有连续的一阶偏导数，则有

   \[\iint_D\p{\pdd{Q}{x}-\pdd{P}{y}}\d \sigma=\oint_L P\dx+Q\dy\]

   ，这里\(L\)为\(D\)的边界曲线，并取正方向（人沿边界走时\(D\)总在其左边，这样的人走的方向为正方向）。证明思路：把区域分割为这样一些简单区域的并，使得平行于坐标轴的直线和\(L\)至多交于两点，然后求在每个简单区域上的二重积分：先化为累次积分，然后用牛顿-莱布尼兹公式把对导数的积分转换为原函数的减法，然后将减法合并为闭合曲线的第二型曲线积分即可（期间还要用到定理21.8、21.9以及其推论）。最后把所有这些区域上的二重积分加起来即可，区域的边界上的第二型曲线积分会互相抵消。

2. 如何理解格林公式：
   • 参考格林公式的几何意义是什么？ - 马同学的回答 - 知乎

   • 一个精辟的观察是：任意的路径边界上的功，等于路径围成的区域内的所有微分矩形（即把该区域按照网格切分称很多小区域）的边界上的功之和，即

     \[\oint_{L^+}\overrightarrow{F}\cdot\d \overrightarrow{r}=\oint_{L^+}P\dx+Q\dy=\iint_D\p{\pdd{Q}{x}-\pdd{P}{y}}\d \sigma\]

     其中\(\d \overrightarrow{r}\)是曲线的切向量，\(\overrightarrow{F}\cdot\d \overrightarrow{r}\)表示力在运动方向做的功。

   • 如果令\(\overrightarrow{F}\)表示流速或者电流密度，\(\d \overrightarrow{n}\)表示边界曲线法向量，则\(\overrightarrow{F}\d \overrightarrow{n}\)在流体力学、电磁学中就称为通量。按照类似上述格林公式的方法可以证得：

     \[\oint_{L^+}\overrightarrow{F}\cdot\d \overrightarrow{n}=\oint_{L^+}P\dy-Q\dx=\iint_D\p{\pdd{P}{x}+\pdd{Q}{y}}\d \sigma\]
   • 感觉有点异曲同工：就像牛顿莱布尼兹公式中定积分值和两端值有关，格林公式中区域二重积分和边界曲线积分有关。知乎上说“其实这些都是流形上的斯托克斯公式”？
3. 在格林公式中，令\(P=-y,Q=x\)则得到一个计算平面区域\(D\)的面积公式\(S_D=\iint_D \d \sigma=\frac{1}{2}(\oint_L x\dy-y\dx)\)。或者令\(Q=x,P=0\)也得到\(S_D=\iint_D\d \sigma=\oint_L x\dy\)。这就表示\(-\oint_L y\dx=\oint_L x\dy\)即\(\oint_L x\dy+y\dx=0\)

   怎么理解？

4. 定义：若平面区域\(D\)上任一封闭曲线皆可不经过\(D\)以外的点儿连续收缩于属于\(D\)的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域（WTF这又是平面几何的定义方法）
5. 定理21.12：设\(D\)是单连通区域，若函数\(P(x,y),Q(x,y)\)在\(D\)内连续且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：
   • 沿\(D\)内任一按段光滑封闭曲线\(L\)有\(\oint_L P\dx+Q\dy=0\)
   • 对\(D\)中任一按段光滑曲线\(L\)，曲线积分\(\int_L P\dx+Q\dy\)与路线无关，只与\(L\)的起点及终点有关
   • \(P\dx+Q\dy\)是\(D\)内某一函数\(u(x,y)\)的全微分，即在\(D\)内有\(\du=P\dx+Q\dy\)
   • 在\(D\)内处处成立\(\pdd{P}{y}=\pdd{Q}{x}\)

   证明：

   • 第一点到第二点显然。
   • 第二点到第三点：设\(A(x_0,y_0)\)为\(D\)内某一定点，\(B(x,y)\)为\(D\)内任意一点，令\(u(x,y)=\int_{AB}P\dx+Q\dy\)（注意这个函数的良定义性：\(u(x,y)\)必是\(B\)点的函数，因此只有两个变量\(x\)和\(y\)），根据第二点证得\(\pdd{u}{x}=P(x,y)\)和\(\pdd{u}{y}=Q(x,y)\)，于是有\(\du=P\dx+Q\dy\)。这个函数\(u\)与一元函数的原函数相仿，所以也称\(u\)为\(P\dx+Q\dy\)的一个原函数。
   • 第三点到第四点：由定理17.7可证\(\pdd{P}{y}=\frac{\pd^2 u}{\pd x\pd y}=\frac{\pd^2 u}{\pd y\pd x}=\pdd{Q}{x}\)。
   • 第四点到第一点直接由格林公式可得。这里用到了“单连通区域”这个条件：如果\(D\)不是单连通的，不能保证其上的任一封闭曲线围成的区域都在\(D\)内，故对于不在\(D\)内的部分不能使用第四点的性质。

二重积分的变量变换

1. 引理：设变换\(T: x=x(u,v),y=y(u,v)\)将\(uv\)平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域\(\Delta\)一对一地映射成\(xy\)平面上的闭区域\(D\)，函数\(x(u,v),y(u,v)\)在\(\Delta\)内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

   \[J(u,v)=\pdd{(x,y)}{(u,v)}=\begin{vmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{vmatrix}\ne0,(u,v)\in\Delta\]

   则区域\(D\)的面积\(\mu(D)=\iint_\Delta \abs{J(u,v)}\du\dv\)。证明过程比较复杂而且假设\(y(u,v)\)在\(\Delta\)内具有二阶连续偏导数（不依赖于这个条件的证明在后文）。首先（根据隐函数组定理？）\(uv\)上的闭区域的边界\(L_\Delta\)变换为\(D\)上的闭区域的边界\(L_D\)，然后把\(L_D\)用（通过\(u\)和\(v\)复合的）参数方程表示，然后在\(\Delta\)上用格林公式表示\(\mu(D)\)并化为参数方程，又把\(\oint_{L_\Delta}x(u,v)\bk{\pdd{y}{u}\du+\pdd{y}{v}\dv}\)化为同样的参数方程，因此\(\mu(D)\)的值等于该式，然后将该式用格林公式重写为二重积分形式，根据二阶连续偏导数的条件化为所要证明的式子。

2. 定理21.13：设\(x,y,u,v\)满足上述引理的所有条件，另外函数\(f(x,y)\)在有界闭区域\(D\)上可积，则

   \[\iint_D f(x,y)\dx\dy=\iint_\Delta f(x(u,v),y(u,v))\abs{J(u,v)}\du\dv\]

   证明：把\(\Delta\)分成多个小区域\(\Delta_i\)，根据上述引理和二重积分中值定理可得到\(\mu(D_i)=\iint_{\Delta_i}\abs{J(u,v)}\du\dv=\abs{J(\overline{u}_i,\overline{v}_i)}\mu(\Delta_i)\)。然后把所求的二重积分写成积分和形式，可以化为包含\(\mu(D_i)\)的关于\(\Delta\)上可积函数\(f(x(u,v),y(u,v))\abs{J(u,v)}\)的积分和，有连续性得知当\(\Delta\)上的分割细度趋于0时\(D\)的分割细度也趋于0，故。

3. 定理21.14：设\(f(x,y)\)满足定理21.13的条件且在极坐标变换：

   \[T:\left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta, \end{array} 0\le r\lt+\infty,0\le\theta\le 2\pi \right.\]

   下，\(xy\)平面上有界闭区域\(D\)与\(r\theta\)平面上区域\(\Delta\)对应（注意这里说的是\(r\theta\)平面，在该平面上\(r\)和\(\theta\)是坐标轴，建的是直角坐标系；而不是说把\(xy\)直角坐标系变为极坐标系），则有：

   \[\iint_D f(x,y)\dx\dy=\iint_\Delta f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\d r\d \theta\]

   注意该极坐标变换不是一对一的，例如\(xy\)平面上的原点与\(r\theta\)平面上的直线\(r=0\)相对应，而\(x\)轴上线段\(AA'\)对应于\(r\theta\)平面上的两条线段。证明过程就是，除去这些特殊的非一对一的变换点（线）外的其他部分的变换是一对一的，因此可以使用定理21.13的条件，然后令这些部分逼近于\(D\)并取极限即得。

4. 然后书上介绍了一堆如何把二重积分在极坐标系下化为累次积分的计算方法，首先是根据21.14化为\(r\theta\)平面上的二重积分，然后根据21.8或21.9或21.10来化为累次积分计算。其中的要点是，在\(xy\)平面使用极坐标表示的区域，在通过上述极坐标变换后，在\(r\theta\)平面上的表示方式和该极坐标表示法一样。具体例子从略。

三重积分

1. 非严格定义：求一个空间立体V的质量M可以导出三重积分。设密度函数为\(f(x,y,z)\)，为求V的质量将其分为\(n\)个小块\(V_1,V_2,\cdots,V_n\)，每个的体积为\(\Delta V_i\)，令\(\Vert T\Vert=\max_{1\le i\le n}\{V_i的直径\}\)，在每个小块上任取一点\((\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\)，则\(M=\lim_{\Vert T\Vert\to0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i\)。严格的定义使用\(\epsilon-\delta\)形式。记为：

   \[J=\iiint_V f(x,y,z)\d V\]

   或

   \[J=\iiint_V f(x,y,z)\dx\dy\dz\]
2. 三重积分有与二重积分相应的可积条件，如有界闭区域上的连续函数必可积。

3. 定理21.15（化三重积分为累次积分）：若函数\(f(x,y,z)\)在\(V=[a,b]\times[c,d]\times[e,h]\)上的三重积分存在，且对任意\((x,y)\in[a,b]\times[c,d]\)，\(g(x,y)=\int_e^h f(x,y,z)\dz\)存在，则积分\(\iint_D g(x,y)\dx\dy\)也存在，且

   \[\iiint_V f(x,y,z)\dx\dy\dz=\iint_D g(x,y)\dx\dy=\iint_D\dx\dy\int_e^h f(x,y,z)\dz\]

   证明方法就是把\(V\)沿平行于坐标轴的直线分割为多个小长方体，用每个小长方体上的上下确界来构造积分和不等式然后取极限。

4. 推论：把\(V\)改为\(V=\{(x,y,z)\vert(x,y)\in D,z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\}\subset[a,b]\times[c,d]\times[e,h]\)，其中\(z_1(x,y)\)，\(z_2(x,y)\)为\(D\)上连续函数且对任意\((x,y)\in D\)，积分\(G(x,y)=\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\dz\)存在，而\(f(x,y,z)\)在\(V\)上的三重积分存在，则积分\(\iint_D G(x,y)\dx\dy\)也存在且满足：

   \[\iiint_V f(x,y,z)\dx\dy\dz=\iint_D G(x,y)\dx\dy=\iint_D\dx\dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\dz\]

   证明方法就是把\(V\)扩充为\([a,b]\times[c,d]\times[e,h]\)然后用定理21.15。

5. 定理21.16：和21.15类似，但是先求二重积分最后求一重积分：

   \[\iiint_V f(x,y,z)\dx\dy\dz=\int_a^b\dx\iint_D f(x,y,z)\dy\dz\]

6. 推论：

   \[\iiint_V f(x,y,z)\dx\dy\dz=\int_{e}^{h}\dz\iint_{D_z}f(x,y,z)\dx\dy\]

   其中\(D_z\)是截面\(\{(x,y)\vert(x,y,z)\in V\}\)

7. 和二重积分换元法类似，三重积分有：

   \[\iiint_V f(x,y,z)\dx\dy\dz=\iiint_{V'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\abs{J(u,v,w)}\du\dv\d w\]

   另外还据此介绍了柱面坐标和球坐标变换，略。

应用

1. 由方程\(z=f(x,y),(x,y)\in D\)所确定的曲面面积为：

   \[\Delta S=\lim_{\Vert T\Vert\to 0}\sum_{i=1}^{n}\frac{\Delta\sigma_i}{\abs{\cos\gamma_i}}=\iint_D\frac{\dx\dy}{\abs{\cos(\widehat{\boldsymbol{n},z})}}=\iint_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\dx\dy\]

   其中\(\cos(\widehat{\boldsymbol{n},z})\)为曲面法向量与\(z\)轴正向夹角的余弦

2. 用上式重新证明了上册定积分应用中给出的旋转曲面面积公式
3. 介绍了由参量方程\(x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)\in D\)确定的曲面面积公式

4. 求质心。设\(V\)是密度函数为\(\rho(x,y,z)\)的空间物体，\(\rho(x,y,z)\)在\(V\)上连续。对该物体细分，根据质点系质心坐标公式

   \[\overline{x_n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\xi_i\rho(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i}{\sum_{i=1}^{n}\rho(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i}\]

   取极限得：

   \[\overline{x}=\frac{\iiint_V x\rho(x,y,z)\d V}{\iiint_V \rho(x,y,z)\d V}\]

   当\(V\)的密度均匀即\(\rho\)为常数时有

   \[\overline{x}=\frac{1}{\Delta V}\iiint_V x\d V\]

   。对\(\overline{y}\)和\(\overline{z}\)类似。平面质心类似。

5. 求转动惯量。质点\(A\)对于轴\(l\)的转动惯量\(J\)是质点\(A\)的质量\(m\)和\(A\)与转动轴\(l\)的距离\(r\)的平方的乘积，即\(J=mr^2\)。和上面的方法类似，可求得物体对\(x\)轴的转动惯量为

   \[J_x=\iiint_V(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\d V\]

   ，类似可求二维的情况。

6. 求引力。密度为\(\rho(x,y,z)\)的立体对立体外质量为1的质点A的引力在\(x\)轴上的投影为：\(\d F_x=k\frac{x-\xi}{r^3}\rho\d V\)，对其他轴的投影类似。

n重积分

1. 例子：求两个物体之间的引力问题是一个6重积分：

   \[\overbrace{\idotsint\limits_V}^{6\text{ times}}\frac{\rho_1(x_{1},y_{1},z_{1})\rho_2(x_2,y_2,z_2)(x_{1}-x_{2})}{r^3}\dx_{1}\dy_1\dz_1\dx_2\dy_2\dz_2\]

2. 和二重积分类似，n重积分

   \[I=\overbrace{\idotsint\limits_V}^{n\text{ times}}f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\dx_1\cdots\dx_n\]

   的性质有：

   • 若\(f(x_1,\cdots,x_n)\)在\(n\)维有界闭域\(V\)上连续，则\(n\)重积分\(I\)存在

   • 当\(V\)由不等式组\(a_1\le x_1\le b_1,a_2(x_1)\le x_2\le b_2(x_1),\cdots,a_n(x_1,\cdots,x_{n-1})\le x_n\le b_n(x_1,\cdots,x_{n-1})\)表示时，有

     \[I=\int_{a_1}^{b_1}\dx_1 \int_{a_(x_1)}^{b_2(x_1)}\dx_2 \cdots \int_{a_n(x_1,\cdots,x_{n-1})}^{b_n(x_1,\cdots,x_{n-1})} f(x_1,\cdots,x_n) \dx_n\]

3. 设变换\(T:x_i=x_i(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n),1\le i\le n\)把\(n\)维\(\xi_1\xi_2\cdots\xi_n\)空间区域\(V'\)一对一地映射成\(n\)维\(x_1x_2\cdots x_n\)空间中的区域\(V\)，且在\(V'\)上函数行列式\(J=\pdd{(x_1,\cdots,x_n)}{(\xi_1,\cdots\xi_n)}\)恒不为零，则成立下列换元公式：

   \[I=\overbrace{\idotsint\limits_V}^{n\text{ times}} f(x_1(\xi_1,\cdots,\xi_n),x_2(\xi_1,\cdots,\xi_n),\cdots,x_n(\xi_1,\cdots,\xi_n)) \abs{J } \d \xi_1 \d \xi_2 \cdots \d \xi_n\]

4. 应用：\(n\)维单纯形\(T_n:x_1\ge0,x_2\ge0,\cdots,x_n\ge0,x_1+x_2+\cdots+x_n\le h\)的体积为

   \[\Delta T_n=\frac{h^n}{n!}\]

5. 应用：\(n\)维球体\(V_n:x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le R^2\)的体积为

   \[\Delta V_n=\left\{ \begin{array}{l} \frac{R^{2m}}{m!}\pi^m,&n=2m,\\ \frac{2R^{2m+1}(2\pi)^m}{(2m+1)!!},&n=2m+1 \end{array} \right.\]

   其中\(n!!=\prod_{k=0}^{\lceil\frac{n}{2}-1\rceil}(n-2k)=n(n-1)(n-4)\cdots\)

6. 应用：\(n\)维空间中的曲面\(x_n=f(x_1,\cdots,x_{n-1}),(x_1,\cdots,x_{n-1})\in\Delta\subset\mathbf{R^{n-1}}\)的面积为：

   \[\overbrace{\idotsint\limits_\Delta}^{n-1\text{ times}} \sqrt{1+\p{\pdd{x_n}{x_1}}^2+\cdots+\p{\pdd{x_n}{x_{n-1}}}^2} \dx_1 \cdots \dx_{n-1}\]

   据此可求得\(n\)维单位球面\(x_1^2+\cdots+x_n^2=1\)的面积为

   \[\Delta S_n=\left\{ \begin{array}{l} \frac{2\pi^m}{(m-1)!},&n=2m,\\ \frac{2(2\pi)^m}{(2m-1)!!},&n=2m+1 \end{array} \right.\]

反常二重积分

无界区域上的二重积分

1. 定义：设\(D\)为无界区域，\(f(x,y)\)为其上定义的二元函数，对平面上任一包围原点的光滑封闭曲线\(\gamma\)，\(f(x,y)\)在\(\gamma\)所围的有界区域\(E_\gamma\)与\(D\)的交集\(E_\gamma\cap D=D_\gamma\)上恒可积。令\(d_\gamma=\min\{\sqrt{x^2+y^2}\vert(x,y)\in\gamma\}\)。若极限\(\lim_{d_\gamma\to \infty}\int_{D_\gamma}f(x,y)\d \sigma\)存在且有限且与\(\gamma\)的取法无关，则称\(f(x,y)\)在\(D\)上的反常二重积分收敛，并将该极限记为该反常二重积分的值。
2. 定理21.17：反常二重积分收敛的一个充分条件，关于上下确界。
3. 定理21.18：若无界区域\(D\)上\(f(x,y)\ge0\)，则反常二重积分收敛的充要条件是，在\(D\)的任何有界子区域上\(f(x,y)\)可积，且积分值有上界。
4. 定理21.19：函数\(f(x,y)\)在无界区域\(D\)上的反常二重积分收敛的充要条件是\(\abs{f(x,y) }\)在\(D\)上的反常二重积分收敛。充分性很容易证明，必要性书上让看菲赫金哥尔茨的教程WTF？
5. 定理21.20（柯西判别法）：略

无界函数的二重积分

1. 定义：函数在某有界区域除了其某个聚点外皆有定义，且在该聚点的任何空心邻域无解，\(\Delta\)为区域中任意包含该聚点的小区域，\(f(x,y)\)在\(D-\Delta\)上可积，若\(\lim_{d\to 0} \iint_{D-\Delta}f(x,y)\d \sigma\)存在且有限且与\(\Delta\)的取法无关，则称\(f(x,y)\)在\(D\)上的反常二重积分收敛，该极限值记为该反常二重积分的值。其中\(d\)表示\(\Delta\)的直径。
2. 定理21.21（柯西判别法）：略

在一般条件下重积分变量变换公式的证明

定理21.13的引理在证明时依赖于所描述的函数有二阶连续偏导数，这一节主要是给出在没有这个条件下的证明。略。

第二十二章 曲面积分

第一型曲面积分

1. 第一型曲面积分：设\(S\)是空间中可求面积的曲面，\(f(x,y,z)\)为定义在\(S\)上的函数，对\(S\)作分割\(T\)，它将\(S\)分为\(n\)个小曲面块\(S_i(i=1,2,\cdots,n)\)，以\(\Delta S_i\)记小曲面块\(S_i\)的面积，分割\(T\)的细度\(\Vert T\Vert=\max_{1\le i\le n}\{S_i的直径\}\)，在\(S_i\)上任取一点\((\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(i=1,2,\cdots,n)\)，若极限\(\lim_{\Vert T\Vert\to 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i\)存在，且与分割\(T\)及\((\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\)的取法无关，则称此极限为\(f(x,y,z)\)在\(S\)上的第一型曲面积分，记为

   \[\iint_S f(x,y,z)\d S\]
2. 第一型曲面积分的性质完全类似于第一形曲线积分，书里略去
3. 定理22.1（用二重积分来计算第一型曲面积分）：设有光滑曲面\(S:z=z(x,y),(x,y)\in D\)，\(f(x,y,z)\)为\(S\)上的连续函数，则\(\iint_S f(x,y,z)\d S=\iint_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\dx\dy\)。证明过程和20.1类似。
4. 和重积分类似，可以利用第一型曲面积分求出曲面块的质心、转动惯量、引力等。

第二型曲面积分

1. 定义：双侧曲面，单侧曲面（如莫比乌斯带)。书上用的是非严格定义。。。
2. 对于由\(z=z(x,y)\)表示的曲面，通常以其法线正方向与\(z\)轴正向夹角成锐角的一侧为正侧。对封闭曲面，通常规定外侧为正侧。

3. 第二型曲面积分记作：

   \[\iint_S P(x,y,z)\dy\dz+Q(x,y,z)\dz\dx+R(x,y,z)\dx\dy\]

   或

   \[\iint_S P(x,y,z)\dy\dz + \iint_S Q(x,y,z)\dz\dx + \iint_S R(x,y,z)\dx\dy\]

   。对应的部分和为

   \[\lim_{\Vert T\Vert\to0}\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_{i_{yz}} + \lim_{\Vert T\Vert\to0}\sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_{i_{zx}} + \lim_{\Vert T\Vert\to0}\sum_{i=1}^{n}R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_{i_{xy}} +\]

   。注意这不是三个第一型曲面积分加起来：第一型曲面积分是对小曲面块的面积\(\d S\)做运算，这里是对小曲面块在三个坐标平面的投影做运算（故写成如\(\dx\dy\)的形式）！所以这更像是三个二重积分加起来（因此有下面的化为二重积分的方法）。另外书上的定义是用立体几何的语言非常不严谨真是无语。

4. 另外要注意：
   • 如果是封闭曲面就用\(\unicode{x222F}_S\)表示
   • 注意，曲面积分（不管是第一型还是第二型）都是用\(\iint_S\)来表示的！不要跟重积分混淆了！
5. 若\((P,Q,R)\)表示的是某流体的流速，则第二型曲面积分表示的是单位时间内从曲面\(S\)的负侧流向正侧的总流量。若\((P,Q,R)\)表示的是空间的磁场强度，则第二型曲面积分表示通过曲面\(S\)的磁通量（磁力线总数）
6. 第二型曲面积分的性质和第二型曲线积分类似：
   • 线性组合那些常数因子可以放进积分号后（里）面，积分值不变
   • 无公共内点的曲面块组成的曲面对同一\((P,Q,R)\)的第二型曲面积分值等于各个曲面块的第二型曲面积分值的和

7. 定理22.2（化为二重积分）：定义在光滑曲面\(S:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}\)（去\(S\)的上侧为正侧）上的连续函数\(R(x,y,z)\)满足

   \[\iint_S R(x,y,z)\dx\dy=\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\dx\dy\]

   其中左边是第二型曲面积分（的一部分），右边是二重积分。证明过程：显然，据定义就可证，最主要部分是在使用等式\(R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)=R(\xi_i,\eta_i,z(\xi_i,\eta_i))\)时用到\(R\)在\(S\)的连续性，\(z\)的连续性（曲面光滑），以及复合函数的连续性，得到等式右端在\(D_{xy}\)上的连续性，故可以把二重积分按定义也展开成等式右端形式（定理21.6）。

两类曲面积分的联系

1. 定理22.3（两类曲面积分的联系）：设\(S\)为光滑曲面，正侧法向量为\((\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)（注意这是会根据曲面上的点变化的，是三个函数），\(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\)在\(S\)连续，则有

   \[\iint_S P(x,y,z)\dy\dz + Q(x,y,z)\dz\dx + R(x,y,z)\dx\dy = \iint_S \p{ P(x,y,z)\cos\alpha + Q(x,y,z)\cos\beta + R(x,y,z)\cos\gamma }\d S\]

   证明方法：直接按照定义写成部分和形式，然后对第二十一章用二重积分表示的曲面面积公式应用二重积分中值定理就可以把两个部分和联系起来，然后取极限即得

2. 定理22.4（另一种联系）：设\(P,Q,R\)是定义在光滑曲面\(S:z=z(x,y),(x,y)\in D\)上的连续函数，以\(S\)的上侧为正侧，则有

   \[\iint_S P(x,y,z)\dy\dz + Q(x,y,z)\dz\dx + R(x,y,z)\dx\dy = \iint_D \p{ P(x,y,z(x,y))(-z_x) + Q(x,y,z(x,y))(-z_y) + R(x,y,z(x,y))} \dx\dy\]

   证明方法：用定理22.3，把\(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\)用\(z_x,z_y\)表示，\(\d S\)用\(z_x,z_y,\dx,\dy\)表示即得。

高斯公式和斯托克斯（Stokes）公式

1. 定理22.5（高斯公式）：设空间区域\(V\)由分片光滑的双侧封闭曲面\(S\)围成（\(S\)取外侧为正侧），若函数\(P,Q,R\)在\(V\)上连续且有一阶连续偏导数，则

   \[\iiint\limits_V\p{ \pdd{P}{x} + \pdd{Q}{y} + \pdd{R}{z} } \dx\dy\dz = \unicode{x222F}_S P\dy\dz + Q\dz\dx + R\dx\dy\]

   证明：只证\(\iiint_V \pdd{R}{z} \dx\dy\dz=\unicode{x222F}_S R\dx\dy\)，余下部分类似。先设\(V\)是一个\(xy\)型区域（如果不是，和格林公式证明过程类似可以将其分解为若干个\(xy\)型区域来讨论），即其边界曲面\(S\)由曲面\(S_2:z=z_2(x,y),(x,y)\in D_{xy},S_1:z=z_1(x,y),(x,y)\in D_{xy}\)以及垂直于\(D_{xy}\)的边界的柱面\(S_3\)组成，其中\(z_1(x,y)\le z_2(x,y)\)。于是有：

   \[\begin{align} \iiint_V \pdd{R}{z} \dx\dy\dz&= \iint_{D_{xy}}\dx\dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} \pdd{R}{z}\dz\\ &=\iint_{D_{xy}}\p{ R(x,y,z_2(x,y))-R(x,y,z_1(x,y)) } \dx\dy\\ &=\iint_{S_2} R(x,y,z) \dx\dy - \iint_{S_1} R(x,y,z) \dx\dy\\ &=\iint_{S_2} R(x,y,z) \dx\dy + \iint_{-S_1} R(x,y,z) \dx\dy \end{align}\]

   其中第三个等号用到了定理22.2（第二型曲面积分和二重积分的转化）。将最后这个结果和关于\(S_3\)的同样的第二型曲面积分（值为0）相加即得结果。

2. 定理22.6（斯托克斯公式，看着像是格林公式在三维空间曲线上的推广）：设光滑曲面\(S\)的边界\(L\)是按段光滑的连续曲线，若函数\(P,Q,R\)在\(S\)（连同\(L\)）上连续且有一阶连续偏导数，则

   \[\iint_S \p{ \pdd{R}{y} - \pdd{Q}{z} \dy\dz } + \p{ \pdd{P}{z} - \pdd{R}{x} \dz\dx } + \p{ \pdd{Q}{x} - \pdd{P}{y} \dx\dy } = \oint_L P\dx + Q\dy + R\dz\]

   只证\(\iint_S \pdd{P}{z} \dz\dx - \pdd{P}{y} \dx\dy = \oint_L P\dx\)，另外两部分类似。假设\(S\)由方程\(z=z(x,y)\)确定，根据第二型曲线积分定义右边等于\(\oint_\Gamma P(x,y,z(x,y)) \dx\)，其中\(\Gamma\)是\(L\)在\(xy\)平面上的投影曲线。然后用格林公式展开，把偏导数写成余弦的比值（所以用了解析几何？），然后把余弦化掉，把\(\dx\dy\)变为\(\d S\)再和对应的余弦值相乘得到\(\dz\dx\)和\(\dx\dy\)即得。

3. 定义：\(V\)是单连通区域\(\Leftrightarrow\)\(V\)内任一封闭曲线皆可以不经过\(V\)以外的点连续收缩于属于\(V\)的一点。
4. 定理22.7：设\(\Omega\subset\mathbf{R}^3\)为空间单连通区域，若函数\(P,Q,R\)在\(\Omega\)上连续且有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：
   • 对于\(\Omega\)内任一按段光滑的封闭曲线\(L\)有\(\oint_L P\dx+Q\dy+R\dz=0\)
   • 对于\(\Omega\)内任一按段光滑的曲线\(L\)，曲线积分\(\int_L P\dx+Q\dy+R\dz\)与路线无关
   • \(P\dx+Q\dy+R\dz\)是\(\Omega\)内某一函数\(u\)的全微分，即\(\du=P\dx+Q\dy+R\dz\)
   • \(\pdd{P}{y}=\pdd{Q}{x}, \pdd{Q}{z}=\pdd{R}{y}, \pdd{R}{x}=\pdd{P}{z}\) 证明与定理21.12相仿。
5. 最后一节介绍了场论初步，介绍梯度、散度、旋度、管量场和有势场。

第二十三章 流形上的微积分学初阶

1. 向量函数形如

   \[\boldsymbol{f}(x) = \left\lgroup \matrix{f_1(\boldsymbol{x}) \\ \vdots \\ f_m(\boldsymbol{x})} \right\rgroup = \left\lgroup \matrix{f_1(x_{1},\cdots,x_{n}) \\ \vdots \\ f_m(x_{1},\cdots,x_{n})} \right\rgroup\]

2. 本章就介绍了向量函数的极限与连续、微分、极值、可微向量函数的性质、反函数和隐函数定理等等和书中讨论的一元或二元函数相似的内容，基本无证明。略。

我的小结

1. 定积分的类型：
   • 线积分
     • “直线”积分：即沿着坐标轴的积分也即普通的定积分，积分变量类似于\(\dx\)
     • （第一型）曲线积分：沿着二维平面（或三维空间）上的曲线段的积分，积分变量类似于\(\ds\)（弧长）
       • 可通过曲线的参数方程转化为关于该参数的“直线”积分即定积分。
       • 第二型曲线积分是一种特殊的曲线积分，可以通过切线方向和坐标轴夹角的余弦转换为第一型曲线积分。
   • 面积分
     • “平面”积分：即二重积分，积分变量类似于\(\d \sigma\)
       • 满足一定条件可以转换为累次积分进行计算
       • 通过格林公式和第二型曲面积分建立关系
     • （第一型）曲面积分：三维空间曲面上的积分，积分变量类似于\(\d S\)
       • 可以通过\(z=z(x,y)\)转化为关于\(x\)和\(y\)的“平面”积分即二重积分来计算
       • 第二型曲面积分是一种特殊的曲面积分，可以通过正侧法向量和坐标轴的夹角的余弦转换为第一型曲面积分。
   • 体积分
     • 一般的体积分即三重积分，积分变量类似于\(\d V\)
       • 满足一定条件可以转换为累次积分（一个“平面”积分加一个“直线”积分）
       • 通过高斯公式和第二型曲面积分建立联系

参考

1. 理解Jacobian和Hessian - Eureka的文章