- 附录II 实数理论
- 第一章 实数集与函数
- 第二章 数列极限
- 第三章 函数极限
- 第四章 函数的连续性
- 第五章 导数和微分
- 第六章 微分中值定理及其应用
- 第七章 实数的完备性
- 第八章 不定积分
- 第九章 定积分
- 第十章 定积分的应用
- 第十一章 反常积分
- 我的小结
附录II 实数理论
- 域：定义了加法和乘法，加法和乘法都满足结合律、交换律，乘法还满足加法的分配率，存在零元素、反元素（即所谓负数）、单位元素、逆元素
- 有序域：定义了全序关系（小于号）的域，全序满足：传递性、三歧性（任意两个元素满足且只满足<=>三种关系其中一种），加法保序和乘法保序性
- 阿基米德性：对任意正元素a、b必存在自然数n使得na>b
- 阿基米德有序域：满足阿基米德性的有序域
- 具有完备性的有序域：使得确界原理（见第一章或下面定理5）成立的有序域
- 引理1：有序域若有完备性则必具备阿基米德性。证明：反证法，有上确界，推出和正元素矛盾
- 引理2：有序域若有阿基米德性则其有理元素必在该域中稠密。即任意两个域中元素之间必有一个有理元素（从而有无穷个）。证明：用阿基米德性构造出来。
- 定义：有理数的分划，上类，下类。共有三种分划：上类有最小数下类无最大数，上类无最小数下类有最大数，上类无最小数下类无最大数。第三种分划定义了无理数，即戴德金分割法。（WTF这个书上逻辑很混乱还是陶哲轩那本写得好）
- 可以证明如果能把有理数域扩充成完备有序域，则新加入的数与上述有理数的第三种分划必一一对应，因此可以用这种分划来定义R。
- 定义：有理数集Q的分划的全体称为分划集，以R表示（这是R的定义！）。Q的有端分划（前两种），无端分划（第三种）
- 定理1：Q的非空子集M成为一个分划的上（下）类的充要条件：M不等于Q，若x在M中且y>x（y<x）则y在M中
- 定义：Q的分划的小于关系（<）定义：通过无端下类（如果下类右端要把该端点放到上类中去）的包含关系来定义
- 定理2：<关系是全序的，即满足传递性和三歧性
- 定理3：
- 属于Q的一个分划h的下类的任意一个（有理）数所对应的分划<=h，反之亦然。上类可找出类似结论。
- 任意两个不同的分划h1、h2之间必存在有理数r使得满足h1<r<h2关系。证明：由小于关系的定义，h1的（无端）下类包含于但不等于h2的（无端）下类，因此h2的下类可以找到一个不属于h1下类的点则可以证明r可以是它。
- 定理4（戴德金定理，或实数连续性定理）：R的两个非空且并集为R的子集（它们是Q的分划的集合）若满足“若h1和h2分别在该两个集合中则总有h1<h2”，则要么其中一个子集有最大元，要么另一个有最小元。该两个子集称为R的一个分划。证明：构造出和该R的分划对应的Q的一个分划，通过定理3和关于R的定理1的修改版可以证明Q的任意其他分划如果小于该分划则必在其中一个子集中反之必在另一个子集中，而该Q的分划也属于R因此也必在其中一个子集中，因此只能是其中一个的最大元或另一个的最小元。
- 定理5（实数完备性定理）：R中有上界的子集必有上确界（即其在R中全体上界组成的集合有最小元）。证明：用该子集构造出R（注意不是Q）的一个分划，证明其“下类”无最大元，而戴德金定理说明其“上类”必有最小元（即上确界的定义）。
- 引理3：对任何Q的分划(h1, h2)和任何有理数k，存在两个分别在h1和h2中的有理数使得它们的差为k。证明：通过阿基米德性构造出来。
- 定义：通过Q的分划（有理数集合）的操作定义R中元素的加法。
- 定理6：R中加法具有交换律、结合律，存在零元和反元（通过构造法和引理3来证明），对<关系满足加法单调性
- 定理7：对任何Q的分划(h1, h2)和任何有理数k>1，存在两个分别在h1和h2中的有理数使它们的商为k。证明和引理3类似，过程换成等比数列即可。
- 定义：同号类：Q的分划的两个类中有且只有一个不包含0，其所有元素同号
- 定理8：Q的非空子集成为Q的某分划的同号类的充要条件：里面只包含同号元素而且其中任一元素和1+h的积也属于该集合（其中h为任一正有理数）。
- 定义：R中任意两数h1，h2的乘法定义为以以h1的同号类的任意元素和h2的同号类的任意元素的积为元素的集合为同号类的分划。即：h1*h2是一个分划，该分划的同号类的元素是h1的同号类的元素和h2的同号类的元素的积。
- 定理9：R中乘法满足交换律、结合律、对加法的分配律，同号相乘为正，异号相乘为负，乘0得0，有单位元和逆元，对<关系满足乘法保号性（即不等式两边同乘同一个正数不等号不变）
- 定理10：Q和R的子集Q*（注意R定义为Q的划分组成的集合，因此Q*表示对应于Q中某个数的分划组成的集合）之间的映射具有：保序性（即a<b<=>a*<b*），保持加法和乘法两个运算（即(a+b)*=a*+b*，(ab)*=a*b*）。这个定理说明该映射下Q和Q*同构，因此可以把R看成Q的扩充，把无端分划称为无理数，把R称为实数集。
- 定理11：R中加法、乘法、求反元、求逆元等运算是唯一的，即从等价的分划出发得到的结论也是等价的
WTF这TM说的是什么？？等价的分划是说有端分划端在下类和上类两种情况吗？
- 定理12：任一[0,1)之间的实数都唯一对应一个整数序列，其中该序列每个数都是0至9间的数（其实该序列就是一个十进制小数），而且满足某个关于不足近似和过剩近似的不等式（见第一章）。
- 还有一堆定理和定义来规定无限小数的四则运算，好繁琐
第一章 实数集与函数
- 把实数（包括有理和无理数）都表示为无限小数，有限的有理数最后一位减一展开成x.xx…xxx99999形式
- 定义：实数的大小关系（通过无限小数每一位的大小关系确定）
- 定义：n位不足近似、n位过剩近似
- 定义：\(\delta\)邻域，左/右邻域，正/负无穷邻域，空心邻域，上界，下界，上确界（是上界，且是最小上界即对任意小于它的数在所考察数集中总存在一个数大于该数），下确界
- 定理1.1（确界原理）：有上界=>有上确界。证明：构造法，先找到一个数n使n+1为所考察数集的上界而n不是，然后对[n, n+1)作十等分，再找到其中一个子区间满足同样的条件，再十等分，无穷进行下去得到一个以各个左分割点作为各位小数的实数，只需证明它就是上确界即可（根据上确界的定义来证，即满足两个条件）。
- 函数的定义，狄利克雷函数，黎曼函数
- 函数的四则运算，复合函数，反函数（要求是一一映射即双射）
- 基本初等函数包括：常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数
- 初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的函数
- 定义：指数函数的变量为无理数时通过上确界和下确界来定义该指数函数的值，通过确界原理来证明这个定义的有效性
- 有上/下界函数，有界函数（用绝对值），单调函数，奇/偶函数，周期函数
- 定理1.2：严格增/减函数必有反函数且其反函数也严格增/减
第二章 数列极限
- 定义：数列极限的\(\epsilon-N\)定义和收敛的定义（对任意小的数总存在某个正整数使得项数大于该正整数的项和给定数的差的绝对值小于该任意小的数）
- 证明某个数列的极限是某个数的一般方法是通过\(\epsilon\)构造出\(N\)
- 定义（数列极限的另一种等价定义）：对任意的\(\epsilon\)在邻域\(U(a;\epsilon)\)外的项至多只有有限个。
- 定义：极限为0的数列称为无穷小数列
- 定理2.1：数列收敛于某个数的充要条件是每项和该数的差组成的新数列为无穷小数列
- 定理2.2（唯一性）：收敛的数列只有一个极限
- 定理2.3（有界性）：收敛的数列有界，即每项的绝对值都小于等于某数
- 定理2.4（保号性）：收敛的数列在某项后的所有项必同号
- 定理2.5（保不等式性）：两收敛数列若从某一项起总有其中一列的项小于等于另一列的对应项，则一列的极限小于等于另一列
- 定理2.6（迫敛性）：若两数列以同一个数为极限，另一个数列从某项起之后的所有项介于该两数列的对应项之间，则该另一数列也以该数为极限
- 定理2.7（四则运算法则）：数列对应项的和/积组成的新数列的极限等于原来数列的极限的和/积（这表明在应用四则运算法则时，如果要把一个数列作为加法或乘法的结果拆分成两个或多个数列，则拆出来的每个数列的极限必须存在！）
- 定义：数列的子列，平凡子列（去掉有限项后得到），非平凡子列
- 定理2.8：数列收敛的充要条件是其所有非平凡子列都收敛。充分性证明：通过必要性证明\({a_{2k}}\)，\({a_{6k}}\)，\({a_{3k}}\)，\({a_{2k-1}}\)的极限逐个相等，由极限的\(U(a;\epsilon)\)定义得证
- 定义：单调递增/减数列（注意比较时包含等于号，因为不是严格单调）
- 定理2.9（单调有界定理）：实数系中单调有界数列必有极限。通过确界原理证明
- 证明\(\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n\)存在：先证其为递增数列，再证其有界（4是一个界）
- 定理2.10（柯西收敛准则）：数列收敛的充要条件是，对任意小的数存在某正整数使得项数大于该正整数的任意两项的差的绝对值小于该任意小数。（证明在第七章）
第三章 函数极限
- 定义：函数趋于\(+\infty\)的极限的\(\epsilon-M\)定义
- 定义：函数趋于某个点的极限的\(\epsilon-\delta\)定义（假设该函数在空心邻域\(U^\circ(x_0,\delta')\)内有定义，注意不能取到\(x_0\)点，即要求\(0<\abs{x-x_0} <\delta\)）
- 定义：单侧极限
- 定理3.1：函数在某个点有极限<=>函数在该点有左极限和右极限且均等于在该点的极限
- 定理3.2：函数若在某点有极限则该极限唯一
- 定理3.3（局部有界性）：函数若在某点有极限则函数在该点的某空心邻域有界。证明：任取一\(\vae\)根据函数极限定义即可得。
- 定理3.4（局部保号性）：函数若在某点有非零极限则函数在该点的某空心邻域的值同号
- 定理3.5（保不等式性）：两函数若都在某点有极限且在该点的某空心邻域内一个函数的值总小于等于另一个的值，则一个函数在该点的极限小于等于另一个
- 定理3.6（迫敛性）：懒得打了
- 定理3.7（四则运算法则）：和数列类似，但多了一个非零除法（为啥数列没有非零除法？可能因为函数的证明过程限制在某空心邻域内，数列比较麻烦还要取一个整数只使用项数大于它的项）。另外这表明在应用四则运算法则时，如果要把一个函数作为加法、乘法或除法的结果拆分成两个或多个函数，则拆出来的每个函数的极限必须存在！
- 定理3.8（归结原则，或海涅定理）：类似于定理2.8，函数在某点极限存在的充要条件是对任何以该点为极限的数列函数在数列上的项的值的极限都存在且相等。
- 通过归结原则可以证明\(\lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x}\)不存在
- 定理3.9：右极限存在的充要条件（类似于定理3.8）
- 定理3.10：定义在某点的空心右邻域上的单调有界函数在该点存在右极限
- 定理3.11（柯西准则）：类似于定理2.10，通过定理2.10和归结原理证明。
- \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)。证明：迫敛性，用\(\cos x\)和1夹逼它
- \(\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\).证明：用两个非常复杂的数列极限夹逼它。
- 定义：无穷小量，有界量，高阶无穷小量，低阶无穷小量，同阶无穷小量（比值为常数），等价无穷小量（比值为1）
- 定义高阶、低阶、同阶、等价无穷小量的前提是，用来比较的两个函数本身都是当\(x\to x_0\)时的无穷小量
- 以高阶无穷小量为例：\(f(x)=o(g(x))\)中的等号表示属于关系，而右边部分表示一个函数类，因此整个式子表达的意思是\(f\in\left\{h\middle\vert \lim_{x\to 0}\frac{h(x)}{g(x)}=0\right\}\)。
- \(f(x)=o(1)\)表示\(f\)是当\(x\to x_0\)时的无穷小量
- 由函数极限的四则运算法则可以推出：无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；无穷小量和有界量的乘积是无穷小量。
- 并不是任何两个无穷小量都可以进行阶的比较，例如\(x\sin\frac{1}{x}\)和\(x^2\)都是无穷小量但是它们的比值（不管哪个做被除式）在\(x\to 0\)时都不是有界量。
- 如果\(f(x)=o(g(x))\)那么\(\frac{f(x)}{g(x)}=o(1)\)，因为\(\frac{f(x)}{g(x)}\)是当\(x\to x_0\)时的无穷小量
- 反之，如果\(f(x)=o(1)\)且\(g(x)\)是无穷小量，那么\(f(x)g(x)=o(g(x))\)。这是因为\(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)g(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}f(x)=0\)（因为\(f\)是当\(x\to x_0\)时的无穷小量）
- 定理3.12：函数极限乘除运算中可以用等价无穷小量作代换。注意这是函数极限四则运算法则的推论，而四则运算法则要求参与的函数都分别在同一点有极限，这可以解释为什么加减法的因式不能随便替换。
- 定义：非正常极限（即\(\infty\)），无穷大量（具有与非正常极限的函数或数列）
- 无穷大量一定是在所讨论邻域上的无界函数，但是无界函数不一定是无穷大量（因为无界不代表极限就是\(\infty\)，而可以无极限）
- 定理3.13：无穷小量和无穷大量的相互转换（取倒数）
- 如何运用函数极限求曲线渐近线方程
第四章 函数的连续性
- 函数连续性定义：在某点的极限等于其函数值。也可以用\(\epsilon-\delta\)方式来定义。连续性等价于\(\lim_{x-x_0\to 0}\p{f(x)-f(x_0)}=0\)即\(\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=0\)。
- 连续意味着极限运算和函数符号的可交换性即\(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=f(\lim_{x \to x_0}x)\)
- 定义：左连续，右连续
- 定理4.1：连续<=>左连续且右连续
- 定义：
- 第一类间断点：可去间断点（有极限但不等于函数值），跳跃间断点（左右极限存在但不等）
- 第二类间断点：至少有一侧极限不存在
- 在某区间上分段连续：在该区间上仅有有限个第一类间断点
- 狄利克雷函数 \(D(x)=\left\{ \begin{align} &1, x\in \mathbb{Q}\\ &0, x\in \Bbb{R}\backslash\Bbb{Q} \end{align} \right.\) 在每一点处都不连续
- 黎曼函数 \(R(x)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, (p,q\in \Bbb{Z}+, p\lt q, \gcd(p,q)=1)\\ &0, x\in\{0,1\}\cup((0,1)\cap(\Bbb{R}\backslash\Bbb{Q})) \end{aligned} \right.\) 在\((0,1)\)内的无理点处都连续，任何有理点处都不连续。前者的证明：对任意\(\epsilon\gt0\)满足\(\frac{1}{q}\ge\epsilon\)的正整数\(q\)只有有限个。
- 连续函数的性质
- 局部有界性（定理4.2）。证明：根据函数连续的\(\vae-\delta\)定义任取一\(\vae\)即可。
- 局部保号性（定理4.3）
- 在某点连续的函数的和差积商函数也在该点连续（定理4.4）
- 复合函数也连续（定理4.5）(一个弱一点的结果是：内层函数在某点有极限，外层函数在该极限处连续，则复合函数在该点有极限，即\(\lim_{x\to x_0}g(f(x))=g(\lim_{x \to x_0}f(x))\))
- 最大、最小值定理（定理4.6）：闭区间上的连续函数在该闭区间必有最大值和最小值（证明在第七章。TMD真是乱来！次序颠倒！）
- 介值性定理（定理4.7）：在\([a,b]\)上连续的函数在\([a,b]\)上必能取得\([f(a),f(b)]\)上的一切值，即对其上任意值至少有一个点使该点上的函数值于该值相等（证明同样在第七章）
- 严格单调的连续函数的反函数必连续（定理4.8）（且严格单调，见定理1.2）
- 定义：一致连续性：对任意小的数存在一正数使得如果两个点的差小于该正数则对应的函数值的差的绝对值就小于该任意小的数（因此\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,1)\)不是一致连续的）
- 一致连续性可以推出连续性，反之不然，除非在闭区间上。即有如下定理4.9（一致连续性定理）：在闭区间上的连续函数必一致连续。（证明在下面第七章）
- 初等函数均为定义域上的连续函数（逐个证明）
- 定理4.10：\(a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta}\)和\((a^\alpha)^\beta=a^{\alpha\beta}\)对实数指数也成立。证明：通过实数指数的确界定义来证明。
- 定理4.11：指数函数在实数集上连续（通过定理4.10证明）
- 定理4.12：一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数
- 定理4.13：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数
问：为什么不是定义域？在定义域上不一定连续吗？
第五章 导数和微分
- 可导的定义：极限\(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)存在
- 定理5.1：可导=>连续。证明：可导表明\(\vae=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)\)是无穷小量（两边取极限即可），于是\(\vae\cdot\Delta x=o(\Delta x)\)即\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\vae\cdot\Delta x}{\Delta x}=0\)（这是因为\(h(\Delta x)=\vae\cdot\Delta x\)和\(g(\Delta x)=\Delta x\)都是无穷小量，它们的比也是无穷小量），即有限增量公式\(\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)\)，两边取极限得\(\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=0\)即连续性定义（右边\(o(\Delta x)\)的极限为0是从\(h(\Delta x)\)的定义得到的）。
- 定义：左导数、右导数都是单侧导数，它们考虑的都是半开半闭区间，闭的一侧的端点为所考察的点
- 定理5.2：导数存在的充要条件是左右导数都存在且相等
- 定义：导函数，函数极大、极小值（注意极值的定义要求该值在定义域对应点的邻域对应的值域里都是最大或最小的，即不是所谓“单边”极值）
- 定理5.3（费马定理）：可导函数在极值点处导数为0。证明：反证法：若导数不为零则存在某邻域使邻域内的函数值都比所描述点的函数值大（或者小，对导数不为0的两种情况以及左、右导数两种情况分别讨论）
- 定理5.4（达布定理）：即导函数的介值定理：闭区间上可导函数（端点的导数为单边导数，其他点的导数为双侧导数）的导数值必覆盖\((f'_+(a),f'_-(b))\)（或\((f'_-(b),f'_+(a))\)）的每一点
- 导数的四则运算（这是通过函数极限的四则运算来证明的，因此和函数极限或数列极限的四则运算一样，如果要把一个导函数拆成几个导函数则拆出来的导函数每个都必须可导）：
- 定理5.5：可导函数的和/差也可导
- 定理5.6：可导函数的积可导
- 定理5.7：可导函数的商也可导（要求除数函数的函数值不为0）
- 定理5.8：有严格单调且连续且导数不为0的反函数的函数可导，其导数为反函数导数的倒数
- 引理：在某点可导的充要条件是在该点的某邻域内存在一个在该点连续的函数\(H(x)\)使得\(f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0)\)，从而\(f'(x_0)=H(x_0)\)。证明：把\(H(x)\)构造出来。
- 定理5.9（链式法则）：可导函数的复合函数也可导，其导数满足\((f\circ \varphi)'(x_0)=f'(u_0)\varphi'(x_0)=f'(\varphi(x_0))\varphi'(x_0)\)。证明：通过上述引理。
- 链式法则满足结合律：\((f\circ g\circ h)'(x_0)=((f\circ g)\circ h)'(x_0)=(f\circ (g\circ h))'(x_0)\)。证明：\(((f\circ g)\circ h)'(x_0)=(f\circ g)'(h(x_0))h'(x_0)=f'(g(h(x_0))g'(h(x_0))h'(x_0)=f'((g\circ h)(x_0))(g\circ h)'(x_0)=(f\circ (g\circ h))'(x_0)\)
- 参变量函数\(\left\{\begin{align}&x=\varphi(t)\\&y=\phi(t)\end{align}\right.\)的导数为\(\dd{y}{x}=\frac{\phi'(t)}{\varphi'(t)}\)。因此，由极坐标\(\rho=\rho(\theta)\)表示的曲线（其中\((\theta,\rho)\)为极坐标）可以先转化为参量方程\(\left\{\begin{align}x=\rho(\theta)\cos \theta\\y=\rho(\theta)\sin\theta\end{align}\right.\)，然后根据前述规则求。
- 定义：二阶导数，二阶可导，n阶导函数，n阶导数，高阶导数
- 莱布尼兹公式：函数的积的n阶导数展开式的系数为二项式系数
- 微分的定义：若存在常数\(A\)使得\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)可以表示成\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\)。其中\(A\Delta x\)记为\(\dy\)称为\(f\)在点\(x_0\)的微分，当\(A\ne 0\)时也说\(\dy\)是\(\Delta y\)的线性主部。
- 定理5.10：可微的充要条件是可导，且\(A=f'(x_0)\)。证明：必要性直接对上式取极限，充分性使用有限增量公式。
我的小结
- 由上述定理有定义\(\dy=f'(x_0)\Delta x\)。根据该定义，函数\(i(x)=x\)的微分\(\d i(x)=i'(x)\Delta x=\Delta x\)因此按照定义表示为\(\dx=\Delta x\)，因此我们可以写\(\dy=f'(x_0)\dx\)
- 我的理解是自变量为\(x\)的函数\(y\)的微分等于\(f'(x_0)\)和自变量为\(x\)的函数\(i(x)\)的微分的积。
- 微分和导数的关系是什么？ - 马同学的回答、为什么自变量x的二阶微分d(dx)等于零？ - 陈老师的回答以及菲赫金哥尔茨的《微积分教程》都说，微分是一个函数，不是一个数。而\(\Delta x\)是一个和\(x\)无关的自变量，因此\(\d (\dx)=\d \Delta x=\d (\mathrm{constant})=0\)。
- 另外参考GaoShanze的回答 - 知乎
- 根据这个定义直接可以从导数的四则运算法则推导出微分的四则运算法则。
- 一阶微分形式的不变性：当\(y\)是复合函数时\(\dy=\d (f\circ g(x))=f'(u)g'(x)\dx=f'(u)\du\)。这说明无论\(u\)是自变量还是一个函数，对\(y\)微分保持形式不变。
- 高阶微分。注意区分：
- \(\dx^2\)是指\((\dx)^2\)
- \(\d ^2 x\)是\(x\)的二阶微分，其值为0（原因如前所属，书上一笔带过真是无语，非常令人费解）
- \(\d (x^2)\)表示\(x^2\)的一阶微分
- 另外为什么二阶导数要这么记d^2y/dx^2？ - 郁林成森的回答说：
建议不要将二阶微商\(\frac{\d ^{2}y}{\dx^{2}}\)看作比例，写成这个样是有历史原因的，强烈建议从下面这个式子理解二阶导数（或高阶导数）：
\[\frac{\d ^{2}y }{\dx^{2}} =\dd{ }{x} \dd{y}{x}=\frac{\d (\dd{y}{x}) }{\dx}=\frac{\frac{\dx\cdot \d ^{2}y-\d ^{2}x\cdot \dy }{\dx^{2} } }{\dx }=\frac{\dx\d ^{2}y-\d ^{2}x\dy }{\dx^{3} }\]这样无论\(x\)是不是自变量，都能很好地计算出二阶微商\(\frac{\d ^{2}y}{\dx^{2}}\)
- 我的理解：从定义-定理的数学角度来理解微分：
- 对\(y=f(x)\)（\(x\)为自变量）定义\(\dy=f'(x)\Delta x\)为关于\(x\)和\(\Delta x\)两个互不相关变量的函数
- 故对\(f(x)=x\)有\(\dx=\Delta x\)，故有\(\dy=f'(x)\dx\)。这应理解为两个函数\(\dy\)和\(f'(x)\dx\)的定义相同
- \(\d [u(x)v(x)]=[u(x)v(x)]'\dx=u'(x)v(x)\dx+u(x)v'(x)\dx=v(x)\du+u(x)\dv\)。其中，\(\du\)和\(\dv\)都是关于\(x\)和\(\Delta x\)的函数
- 当\(x\)为自变量时\(\d ^2x=\d (\dx)=\d \Delta x=0\)。这是因为\(\Delta x\)是与\(x\)不相关的变量，对\(x\)求导时应该视其位常数
- 对\(y=f(x)\)（\(x\)为自变量）来说，\(\d ^2y=\d (\dy)=\d (f'(x)\dx)=\d (f'(x))\dx+f'(x)\d (\dx)=\d (f'(x))\dx=f''(x)\dx^2\)
- \(y=f(\varphi(t))\)（\(t\)为自变量）来说，\(\dy=[f(\varphi(t))]'\dt=f'(\varphi(t))\varphi'(t)\dt\)，如令\(u=\varphi(t)\)则有\(\dy=f'(u)\du\)，这就是所谓一阶微分形式不变性。但注意：其中\(f'(u)\)是对\(t\)求导（而不是对\(u\)）而且是关于\(t\)的函数（即以\(t\)为自变量，而不是关于\(u\)的），而\(\du\)是关于\(t\)和\(\Delta t\)的函数（而不是关于\(u\)和\(\Delta u\)的）
- 一阶微分的形式不变性的另一种常用表述是\(\dd{y}{t}=\dd{y}{x}\cdot\dd{x}{t}\)。其中\(\dt=\Delta t\)，但是\(\dx=\varphi'(t)\dt\)而不是\(\Delta x\)（两者差一个无穷小量），这是因为\(t\)是自变量！！
-
对\(y=f(\varphi(t))\)（\(t\)为自变量）来说，
\[\begin{align} \d ^2y=&\d (\dy)\\ =&\d [f'(\varphi(t))\varphi'(t)\dt]\tag{1}\\ =&\d [f'(\varphi(t))\varphi'(t)]\dt\tag{2}\\ =&[f'(\varphi(t))\varphi'(t)]'\dt^2\tag{3}\\ =&[f''(\varphi(t))\varphi'^2(t)+f'(\varphi(t))\varphi''(t)]\dt^2\\ =&f''(x)\dx^2+f'(\varphi(t))\varphi''(t)\dt^2\tag{4} \end{align}\]其中(1)是由上述第6点，(2)是由第4点，(3)是由定义（第1点），(4)是令\(x=\varphi(t)\)。注意，最后的\(f''(x)\)是关于\(t\)的函数而不是关于\(x\)的，而\(\dx\)是关于\(t\)和\(\Delta t\)的函数而不是关于\(x\)和\(\Delta x\)的。
另一种方法：
\[\begin{align} \d ^2y=&\d (\dy)\\ =&\d [f'(x)\dx]\tag{1}\\ =&\d (f'(x))\dx+f'(x)\d (\dx)\tag{2}\\ =&f''(x)\dx^2+f'(x)\d [\varphi'(t)\dt]\tag{3}\\ =&f''(x)\dx^2+f'(x)\varphi''(t)\dt^2\tag{4} \end{align}\]其中(1)是由上述第6点并令\(x=\varphi(t)\)，(2)是复合函数微分法（注意所有部分都是关于\(t\)的求导或函数以及\(\Delta t\)的函数，而不是关于\(x\)或\(\Delta x\)的），(3)是由第6点（对\(f'(x)\)再做一次关于\(t\)的一阶微分），(4)是由第4点。
第六章 微分中值定理及其应用
- 定理6.1（罗尔中值定理）：闭区间上连续且对应的开区间上可导且闭区间端点函数值相等的函数必在该开区间存在导数为0的点。通过最大最小值定理4.6、最值点各种情况的分类讨论、以及费马定理可证。
- 定理6.2（拉格朗日中值定理）：闭区间上连续且对应的开区间上可导的函数必在该开区间存在一点\(\xi\)使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)（该式称为拉格朗日公式）。证明：构造出一个函数使其满足罗尔中值定理的条件从而存在导数为0的点，对应于原来的函数的导数为所求证值的点。
- 推论1：导数值恒为零的函数必为常量函数
- 推论2：导数值恒相等的两个函数的函数值恒只差一个常数
- 推论3：若实心邻域连续且对应的空心邻域可导且导函数在所考察点的极限值存在，则函数在所考察点可导，而且导函数在所考察点连续。证明：用拉格朗日中值定理通过夹逼的方法证明考察点上的左右导数分别等于导函数在所考察点的左右极限，然后根据第三个条件导函数在所考察点的左右极限值相等因此左右导数相等，即可导且导函数在该点连续。
- 定理6.3：可导函数单调递增（减）的充要条件是导数恒大于等于（小于等于）0。必要性直接用导数的极限定义，并利用极限的局部保号性来证明；充分性利用拉格朗日中值定理。
- 定理6.4：可导函数在某开区间上严格单调递增（递减）的充要条件
- 在该区间上导数恒大于等于（小于等于）0，且
- 在该区间的任何子区间导数不恒为0（即可以在某一点上导数为0，但不能在一个区间上）
对于充分性的证明，怎样利用第二点证明单调的严格性：反证法，类似罗尔中值定理的证明过程，对最值点的各种情况分类讨论，若有两点函数值相等则要么为常量函数（矛盾）要么存在某导数为0的中间点为极值点于是两边的导数异号（矛盾）。
推论：若导函数恒大于（小于）0则函数严格单调递增（递减）。
- 定理6.5（柯西中值定理）：两函数若在某闭区间上连续且对应的开区间上可导，且导数值不同时为零且\(g(a)\ne g(b)\)，那么存在开区间上某点\(\xi\)使得\(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)。证明：和拉格朗日定理中值定理类似，构造出一个函数使其满足罗尔中值定理的条件从而存在导数为0的点。
- 不定式极限：两个无穷小量或无穷大量的比的极限
- 定理6.6（\(\frac{0}{0}\)型极限的洛必达法则）：若两函数在某点极限值为0、在该点某空心邻域内都可导且被用来作为除数的函数导数不为0，则两函数的比在该点的极限值等于两对应导函数的比在该点的极限值（不管该极限值是实数还是无穷，但必须是存在的）。用柯西中值定理可证。
问：书上为什么要补充定义函数在该点连续？这不是等于多加了条件吗？根据维基百科这个条件其实是特殊情况下的证明的必需条件，所以书上又乱来了？
- 定理6.7（\(\frac{\infty}{\infty}\)型极限的洛必达法则）：类似上述定理，只是第一个条件修改为两函数在某点极限值为无穷。同样用柯西中值定理证明。
- 泰勒多项式的定义。某函数与其在所考察点上的泰勒多项式在所考察点上有相同的函数值和相同的直至n阶导数值。
- 定理6.8：函数与其泰勒多项式在某点的差为\((x-x_0)^n\)的高阶无穷小量（称为佩亚诺余项）。证明：连续使用洛必达法则n-1次。
- 泰勒多项式在\(x_0=0\)时的特殊形式也称为麦克劳林公式。
- 泰勒多项式的本质：用多项式去逼近函数
- 定理6.9（泰勒定理）：可把佩亚诺余项表示为拉格朗日型余项
- 定理6.10（极值第一充分条件）：连续并在空心邻域可导的函数若一边的导数大于等于零另外一边小于等于零，则所考察点为极值点
- 定理6.11（极值第一充分条件）：二阶可导时若一阶导数为零则二阶导数的符号决定极大还是极小值
- 定理6.12（极值第三充分条件）：n（为偶数；奇数时不取极值）阶可导时若前n-1阶导数为零则第n阶导数的符号决定极大值还是极小值
- 定义：凸函数、凹函数
- 定理6.13：凸函数的导函数为增函数
- 定理6.14：二阶可导函数是凸函数的充要条件是二阶导数大于等于0
- 定义：拐点：把函数分为两段，一段为严格凸另一段严格凹
- 定理6.15：成为拐点的必要条件
- 定理6.16：成为拐点的充分条件
- 牛顿切线法求方程的近似解
第七章 实数的完备性
- 定义：（闭）区间套
- 定理7.1（区间套定理）：R中存在唯一一点属于一个区间套的每个区间。证明：存在性：数列的单调有界定理；唯一性：两数差的极限
- 聚点：该点\(\xi\)的任何邻域内都有所考查点集\(S\)中无穷多个点。等价定义：
- 用邻域：\(U^\circ(\xi;\vae)\cap S\ne\varnothing\)
- 若存在各项互异的收敛数列（每一项都为\(S\)中的数），则其极限为\(S\)的一个聚点。如何由证明上一个定义和这个等价：构造出这样一个数列
- 定理7.2（魏尔斯特拉斯聚点定理）：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。证明：找到一个闭区间包含该点集，不断二分该区间，由区间套定理可得。
- 推论（致密性定理）：有界数列必含有收敛子列
- 定义：开覆盖：覆盖所考查点集的所有点的开区间的集合
- 定理7.3（海涅——博雷尔有限覆盖定理）：一定可以从一个闭区间的一个无限开覆盖中选出有限个开区间来覆盖该闭区间。反证法：不断二分该闭区间，必有其中一个子区间不能被有限覆盖，构成一个区间套，由区间套定理，必有唯一一点属于所有区间，而必有开覆盖中的一个开区间覆盖它。但因为是开区间，区间套中的区间必最终被其覆盖，矛盾。
- 以下有关实数完备性的基本定理等价：
- 确界原理（定理1.1）
- 单调有界定理（定理2.9）
- 区间套定理（定理7.1）
- 有限覆盖定理（定理7.3）
- 聚点定理（定理7.2）
- 柯西收敛准则（定理2.10）
其中1=>2为定理2.9；2=>3为7.1；3=>4为7.3；6=>1可以这样证明：对一个非空有上界数集，构造出一个上界数列，由柯西收敛准则可证其收敛（于是极限在R中存在），再证明该极限就是所求上确界
问：怎样从4=>5和5=>6？
- 有界性定理：闭区间上的连续函数必有界。
- 证法一：通过连续函数的局部有界性（4.2），对每一点都能找到一个邻域使函数在该邻域有界，于是构造出一个无限开区间集。由有限覆盖定理可证。
- 证法二：反证法，构造出一个数列使函数值递增，由致密性定理由收敛子列，但根据数列极限的保不等式性得知该子列的极限点在该闭区间里。由连续性定义知该极限点上的函数值是一个确定的有界值，但由数列的选取方法知该函数值趋于无穷，矛盾
- 最大、最小值定理（定理4.6）：闭区间上连续函数由最大值和最小值。证明：由上面有界性定理知函数值有界，故有上确界，故只需证明该函数能取得上确界的值，通过反证法构造出一个连续函数并推出其无界得出矛盾。
- 介值性定理（定理4.7）：应用区间套定理不断二分该区间，然后反证法并由局部保号性得出矛盾。
- 一致连续性定理（定理4.9）：通过致密性定理证明，用反证法，存在\(\vae_0\)，使得对任意的\(\delta\)，都存在\(x'\)和\(x''\)，即使\(\abs{x'-x''}\lt\delta\)，但有\(\abs{f(x')-f(x'')}\ge\vae_0\)。令\(\delta=\frac{1}{n}\)，得出数列\(\{x'\}\)与\(\{x''\}\)，根据致密性定理，它们存在收敛子列，可证俩收敛子列收敛于同一点，但根据假设函数在俩子列对应点上的值的差不能小于\(\vae_0\)，这跟\(f\)是连续函数矛盾
- 定义：数列的聚点（不一定是数列的某项）
- 定理7.4：有界数列至少有一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点。证明类似7.2。
- 定义：有界数列的最大聚点称为其上极限。下极限类似
- 定理7.5：下极限小于等于上极限（这不是废话吗？？）
- 定理7.6：数列极限存在的充要条件是其上下极限相等
- 定理7.7和7.7’：某数为有界数列的上/下极限的充要条件
- 定理7.8（上、下极限的保不等式性）：俩有界数列，若在某一项以后其中一个的每一项小于等于另一个的对应项，则第一个数列的上、下极限小于等于另一个的上、下极限。
- 定理7.9：某数为有界数列的上/下极限的充要条件（例如，等于该数列从\(n\)项以后的子列上确界的\(n\)趋于无穷时的极限）
第八章 不定积分
- 定义：一个函数的原函数，是导函数为该函数的函数
- 定理8.1：连续函数必存在原函数（证明在第九章，即定理9.10微积分学基本定理）
- 定理8.2：一个函数的不同原函数只能相差一个常数
- 不定积分的定义：全体原函数组成的函数族
- 定理8.3：两个存在原函数的函数的线性组合也存在原函数，其结果为该两个函数的原函数的线性组合
- 定理8.4（换元积分法）：\(g(u)\)在\([\alpha,\beta]\)上有定义，\(u=\varphi(x)\)在\([a,b]\)上可导，且\(\alpha\le\varphi(x)\le\beta,x\in[a,b]\)，并记\(f(x)=g(\varphi(x))\varphi'(x)\)
- 若\(g(u)\)在\([\alpha,\beta]\)上存在原函数\(G(u)\)，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上也存在原函数，为\(F(x)=G(\varphi(x))+C\)。这其实就是复合函数求导的逆运算。
- 又若\(\varphi'(x)\ne 0,x\in[a,b]\)，则上述命题可逆，即当\(f(x)\)在\([a,b]\)上存在原函数时，若\(g(u)\)在\([\alpha,\beta]\)上也存在原函数\(G(u)\)，且\(G(u)=F(\varphi^{-1}(u))+C\)。证明：由于\(u=\varphi(x)\)可导，因此它连续（定理5.1），又由\(\varphi'(x)\ne 0\)知\(\varphi(x)\)严格单调（定理6.4的推论），又由定理1.2知其有反函数且也严格单调，再由定理5.8知其导数与其反函数导数的关系，再对\(G(u)\)求导即可证。
- 问：怎么理解\(F(x)=\int f(u)\du=G(u)\)？这和微分的关系是怎样的？答：注意\(u\)不是一个自变量，它表示\(\varphi(x)\)，而\(\du\)表示\(\varphi'(x)\dx\)！
- 定理8.5（分部积分法）：若\(u(x)\)和\(v(x)\)可导，不定积分\(\int u'(x)v(x)\dx\)存在，则\(\int u(x)v'(x)\dx\)也存在，且有则\(\int u(x)v'(x)\dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\dx\)
- 定义：有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数
- 有理函数的不定积分
- 对函数的分母进行因式分解，根据代数基本定理所有实系数多项式都可以分解为次数不超过二次的多项式的乘积
- 以分解后的因式作为分母把原来的有理函数拆成以次数不超过二次的多项式的幂为分母的多项式（称为部分分式）的和
- 对每个部分分式分别求不定积分
- 三角函数有理式的不定积分
- 有理式：由某组函数经过四则运算所得到的函数称为关于该组函数的有理式
- 三角函数\(\sin x\)和\(\cos x\)的有理式的不定积分可以通过变换\(t=\tan \frac{x}{2}\)化为有理函数的不定积分
- 还介绍了一些无理根式的不定积分，通过化为有理函数或三角函数有理式的不定积分来求解
- 欧拉变换
第九章 定积分
- 定义：闭区间的分割（分成多个不重叠但它们的并等于原区间的子闭区间），分割的模（有最大长度的子区间的长度）
- 定义：函数在闭区间上的积分和（黎曼和）：\(\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\)，其中\(\Delta x_i\)是每个子区间的长度，\(\xi\)是每个子区间上的任意点
- 定义：（黎曼）可积的\(\vae-\delta\)定义：对任意\(\vae>0\)总存在某一正数\(\delta\)使得对闭区间的任何分割以及其上任意选取的点集，只要分割的模小于\(\delta\)，就有黎曼和和某数的差的绝对值小于\(\vae\)。该数称为函数在该闭区间上的定积分或黎曼积分。因此，如果对于两种特定的分割法或选取点集的方法得出的黎曼和的极限不一样，就说明函数不可积，例如狄利克雷函数（选有理点和无理点黎曼和的极限不一样）。
- 定理9.1（牛顿-莱布尼兹公式）在某闭区间上连续且存在原函数的函数在该区间上可积，其定积分等于原函数在该区间两端点的值的差（右端点上的函数值减左端点上的函数值），即\(\int_a^b f(x)\dx=F(x)\big\vert_a^b\)。证明：通过黎曼可积的定义把左边写成黎曼和，把右边写成该黎曼和采用的子区间对应的原函数差的和，对每一子区间上原函数的差用拉格朗日中值定理。
- 定理9.2（可积的必要条件）：在闭区间上可积的函数在该闭区间上必有界。证明：反证法。
- 定义：（达布）上/下和：假设函数某闭区间上有界，则该函数在分割的每个子区间也有界，因此有上确界\(M_i=\sup_{x\in\Delta_i}f(x)\)和下确界\(m_i\)，则\(S(T)=\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i\)称为达布上和（其中\(T\)表示该分割），同理有达布下和。区间的振幅定义为该区间的上下确界的差。
- 定理9.3（闭区间上函数的可积的充要条件/可积准则）：任给某正数总存在某分割使得对应的上下和的差小于该正数。证明见下面可积性理论。
- 定理9.3’：闭区间上函数可积的充要条件是每个子区间的长度和对应的振幅的积的累加和可以小于任意正数。
- 定理9.4：闭区间上的连续函数必在该闭区间上可积。证明：由于在闭区间上连续，因此一致连续，由一致连续的定义可以证得上下和的差可以任意小，根据定理9.3得结论。
- 定理9.5：闭区间上只有有限个间断点的函数在该闭区间上可积。证明：不失一般性假设只有一个间断点且为端点，把区间分成两部分其中一部分为该端点的一个邻域，两部分的上下和的差均可小于任意正数。
- 定理9.6：闭区间上的单调函数可积。证明：利用子区间的振幅等于两端点上的函数值的差，通过定理9.3’来证。
- 单调函数即使有无限个间断点仍可积。与定理9.5比较：考虑狄利克雷函数
- 黎曼函数在\([0,1]\)上可积。
- 定积分的性质：
- 可积函数的常数倍可积，\(\int_a^b kf(x)\dx=k\int_a^b f(x)\dx\)
- 两可积函数的和/差也可积，\(\int_a^b \p{f(x)\pm g(x)}\dx=\int_a^b f(x)\dx\pm \int_a^b g(x)\dx\)
- 两可积函数的积也可积，但和加减法不一样，没有简单的乘法规则
- 可积的另一充要条件：把所考察的闭区间（任意）分为两个子闭区间，函数在该俩子闭区间上也可积。此时，函数在原区间上的定积分等于在两个子区间上的定积分的和（称为关于积分区间的可加性）。
- 规定：长度为零的闭区间上的定积分为0；若积分端点相反，则积分值取负。
- 值恒不小于零的函数的定积分不小于零。推论：若一函数的值恒小于等于另一函数，则第一个函数的定积分也小于等于第二个函数
- 可积函数的绝对值函数也可积，其定积分大于等于原来函数的定积分的绝对值。注意：逆命题不成立，考虑狄利克雷函数的变形（有理点上取值1无理点上取值-1）。
- 定理9.7（积分第一中值定理）：若\(f\)在\([a,b]\)上连续，则至少存在一点\(\xi\in[a,b]\)使得\(\int_{a}^{b}f(x)\dx=f(\xi)(b-a)\)。证明：该定积分介于\(m(b-a)\)和\(M(b-a)\)之间，其中\(m\)和\(M\)分别是\(f\)在\([a,b]\)上的最小、最大值，然后不等式每项都除以\(b-a\)然后利用连续函数的介值性定理可证得结果。
- 定理9.8（推广的积分第一中值定理）：若\(f\)与\(g\)都在\([a,b]\)上连续，且\(g(x)\)在\([a,b]\)上不变号，则至少存在一点\(\xi\in[a,b]\)使得\(\int_a^b f(x)g(x)\dx=f(\xi)\int_a^b g(x)\dx\)证明：和定理9.7类似，但是把\(b-a\)换成\(g(x)\)。
- 变（上、下）限（的定）积分是一个以\(x\)为自变量的函数，如\(\Phi(x)=\int_a^x f(t)\dt\)
- 定理9.9：在闭区间上可积的函数的变上限定积分在该闭区间上连续。证明：由连续函数的定义以及该函数在该闭区间上的有界性可证。
- 定理9.10（原函数存在定理，或微积分学基本定理）：闭区间上的连续函数对应的变上限定积分在该闭区间上处处可导，而且\(\Phi'(x)=\dd{ }{x}\int_a^x f(t)\dt=f(x), x\in[a,b]\)。证明：由积分第一中值定理以及导数的极限定义可证。
- 定理9.11（积分第二中值定理）：设函数\(f\)在\([a,b]\)上可积，
- 若函数\(g\)在\([a,b]\)上减，且\(g(x)\ge0\)，则存在\(\xi\in[a,b]\)使得\(\int_a^b f(x)g(x)\dx=g(a)\int_a^\xi f(x)\dx\)。证明（类似可证明下面命题）：\(F(x)=\int_a^x f(t)\dt,x\in[a,b]\)在\([a,b]\)上可导因此连续，因此存在最大值\(M\)和最小值\(m\)，因此只需证明\(m\le\frac{1}{g(a)}\int_a^b f(x)g(x)\dx\le M\)然后利用\(F\)的介值性可立即证得原命题。至于如何证明该式：根据定理9.3’对任意小的正数存在一个分割使得\(g\)的上下和之差小于它，然后把\(\int_a^b f(x)g(x)\dx\)根据积分区间可加性以及该分割写成一系列子积分和来证。
- 若函数\(g\)在\([a,b]\)上增，且\(g(x)\ge0\)，则存在\(\eta\in[a,b]\)使得\(\int_a^b f(x)g(x)\dx=g(b)\int_\eta^b f(x)\dx\)
- 推论：设函数\(f\)在\([a,b]\)上可积，若\(g\)为单调函数，则存在\(\xi\in[a,b]\)使得\(\int_a^b f(x)g(x)\dx=g(a)\int_a^\xi f(x)\dx+g(b)\int_\xi^b f(x)\dx\)。证明：若\(g\)单调减，则令\(h(x)=g(x)-g(b)\)，由定理9.11可证。
-
定理9.12（定积分换元积分法）：若函数\(f\)在\([a,b]\)上连续，\(\varphi\)在\([\alpha,\beta]\)上连续可微且其导函数在\([a,b]\)上可积（TMD书上没有这个条件很不严谨啊，会有以下反例！维基上都明确指定这个条件）且满足\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b,a\le\varphi(t)\le b,t\in[\alpha,\beta]\)，则有\(\int_a^bf(x)\dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\dt\)。证明：由微积分学基本定理，两函数的原函数都存在，设\(F\)是\(f\)的原函数，可以证明\(F(\varphi(t))\)是\(f(\varphi(t))\varphi'(t)\)的一个原函数，然后对右端使用牛顿-莱布尼兹公式即得。
- 定理9.13（定积分分部积分法）：\([a,b]\)上连续可微且具有可积导函数（同上，书中缺了这个条件）的函数\(u(x)\)和\(v(x)\)满足\(\int_a^b u(x)v'(x)\dx=u(x)v(x)\big\vert_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\dx\)。证明：首先由微积分学基本定理\(u(x)\)和\(v(x)\)都有原函数，由定理9.4\(u(x)\)和\(v(x)\)在\([a,b]\)上可积，由于可积函数的积也可积，故\(u(x)v'(x)\)和\(u'(x)v(x)\)可积，然后直接运用可积函数的和也可积这个性质把它们合并求和，最后使用牛顿-莱布尼兹公式即得结果。
- 关于\(\pi\)的极限表达式的Wallis公式
- 由推广的分部积分公式（关于n+1阶连续导函数）可以得出泰勒公式的积分型余项（进而求得之前的拉格朗日型余项），进一步通过积分第一中值定理可以得出柯西型余项。
- 可积性理论：
- 对同一个分割的任何点集，上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界。上确界的证明：只需证上和是最小上界：任给\(\vae>0\)，在各个\(\Delta_i\)上\(M_i\)是\(f(x)\)的上确界，于是由上确界的定义可选取点击\(\xi_i\in\Delta_i\)使\(f(\xi_i)>M_i-\frac{\vae}{b-a}\)，然后求和即得证。
- 定义：上积分（所有上和的下确界），下积分（所有下和的上确界）
- 达布定理：上、下积分也是上和与下和在\(\Vert T\Vert\to 0\)时的极限。上积分的证明：通过上确界的定义（第二个条件）以及关于分割的一些不等式性质可得。
- 定理9.14（可积的第一充要条件）：可积<=>上下积分相等。充分性和必要性都通过达布定理证明。
- 定理9.15（可积的第二充要条件，即定理9.3）。证明：通过定理9.14即得。
- 定理9.16（可积的第三充要条件）：可积<=>任给俩正数，总存在一个分割，使得该分割的所有小区间中振幅大于等于其中一个正数的那些小区间的总长小于另一个正数。证明：通过定理9.15。
我的小结
- 在一元函数中，可微<=>可导=>连续=>黎曼可积
- 可导函数的导函数不一定黎曼可积，见知乎反例函数可导，则其导函数可积？ - lxg1023的回答：函数 \(f(x)=\left\{ \begin{aligned} &x^m\sin\frac{1}{x^n},n>m>2,x\ne0\\ &0,x=0 \end{aligned} \right.\) 的导函数在\(x=0\)处不连续，\(f'(0)=0\)但\(\lim_{x\to 0}f'(x)=\infty\)无界，于是在包含0的闭区间上不可积
第十章 定积分的应用
- 曲边梯形（由恒不小于零的曲线\(f(x)\)、直线\(x=a\)、\(x=b\)以及\(x\)轴围成）面积的定义（在第九章开头）：把\([a,b]\)分为多个子区间，得到面积\(S\approx \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\)，其在\(n\to \infty\)且\(\Delta x_i\to 0\)时的极限定义为该曲边梯形的面积。这样的定义其实是可以严格推导出来，见下面对截面面积函数求体积方法的说明。
- 由上下两条曲线\(y=f_x(x),y=f_1(x)\)以及两条直线\(x=a,x=b,(a\lt b)\)所围的平面图形面积为\(\int_a^b\p{f_2(x)-f_1(x)}\dx\)
- 已知曲线C由参数方程\(x=x(t),y=y(t),t\in[\alpha,\beta]\)给出，在\([\alpha,\beta]\)上\(y(t)\)连续、\(x(t)\)连续可微且\(x'(t)\ne0\)，于是根据定理6.4\(x(t)\)为严格单调函数故由定理1.2其必有严格单调反函数，因此根据定积分的换元积分法（令\(\varphi\)为\(x(t)\)）曲线C、直线\(x=a\)、\(x=b\)和\(x\)轴围成的图形面积为：\(\int_a^b\abs{y(x^{-1}(x))}\dx=\int_\alpha^\beta\abs{y(x^{-1}(x(t)))x'(t)}\dt=\int_\alpha^\beta\abs{y(t)x'(t)}\dt\)
- 如果由上述参数方程表示的曲线是封闭的即\(x(\alpha)=x(\beta),y(\alpha)=y(\beta)\)且在\((\alpha,\beta)\)内曲线自身不再相交，则由曲线自身围成图形的面积为\(\abs{\int_\alpha^\beta y(t)x'(t)\dt}\)。从几何上来理解，该曲线可以根据\(x(t)\)的单调性分为（有限的）几部分，每一部分\(x(t)\)是严格单调的，对每一部分求积分\(\int_{x^{-1}(x_i)}^{x^{-1}(x_{i+1})}y(t)x'(t)\dt\)得到该部分曲线和直线\(x=x_i,x=x_{i+1}\)以及\(x\)轴围成的图形的“面积”，这个面积其实是具有符号的，在\(x\)轴上半部分取正而下半部分取负，因此正负是会抵消的。最后把所有部分的积分加起来求和便得到带符号的曲线围成图形的面积，再取个绝对值就得到一个正的面积值。
- 根据这个公式可求得椭圆面积为\(\pi ab\)其中\(a\)、\(b\)分别为椭圆半长轴和半短轴长。
- 曲线C由极坐标方程\(r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta]\)给出，其中\(r(\theta)\)在\([\alpha,\beta]\)上连续，\(\beta-\alpha\le2\pi\)，由C与两条射线\(\theta=\alpha,\theta=\beta\)所围的平面图形（称为扇形）面积为\(\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\d \theta\)。证明：可以使用定积分的思想，通过对\([\alpha,\beta]\)进行分割，近似求出各个小的扇形的面积然后求和并取极限。
- 三维直角坐标系中由截面面积函数\(A(x)\)以及平面\(x=a,x=b,(a\lt b)\)确定的立体的体积为\(\int_a^b A(x)\dx\)，其中\(A(x)\)为\([a,b]\)上的连续函数。可以通过对该区间进行分割，利用不等式：达布下和小于等于所求体积小于等于达布上和，然后根据\(A(x)\)的连续性（因此有可积性），该不等式在分割区间任意小且分割区间数无限多时两边等号成立，因此所求体积为定积分。同理可以对上述的平面图形面积进行类似的逻辑分析。
- 据此可求得椭球体体积公式为\(\frac{3}{4}\pi abc\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)为椭球的半主轴长。
- 平面曲线及其分割\(T\)，最长弦的长度\(\Vert T\Vert=\max_{1\le i\le n}\abs{P_{i-1}P_i}\)，折线总长度\(s_T=\sum_{i=1}^{n}\abs{P_{i-1}P_i}\)
- 弧长定义：如果对不论怎样的分割\(T\)都存在有限极限\(\lim_{\Vert T\Vert\to 0}s_T=s\)，则称该曲线是可求长的并把\(s\)称为其弧长。
- 光滑曲线的定义：由参数方程\(x=x(t),y=y(t),t\in[\alpha,\beta]\)给出，并且\(x(t)\)和\(y(t)\)在\([\alpha,\beta]\)上连续可微，而且\(x'(t)\)与\(y'(t)\)不同时为零即\(x'^2(t)+y'^2(t)\ne0,t\in[\alpha,\beta]\)。
问：
- 良定义性：有没可能同一条曲线可以由多个不同的参数方程给出，但是有些可微有些不可以？（目测根据复合函数求导法这不大可能出现，但需要严格证明）
- 为什么满足这些条件就叫“光滑”？几何意义是什么？曲线“看起来”是怎么样的？极端例子都有哪些？
- 定理10.1：光滑曲线是可求长的，弧长为\(s=\int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\dt\)。证明：设曲线的任意分割\(T\)对应的\([\alpha,\beta]\)上的分割为\(T'\)，目的是证明\(\lim_{\Vert T\Vert\to0}s_T=\lim_{\Vert T'\Vert\to0}\sum_{i=1}^n\sqrt{x'^2(\xi_i)+y'^2(\xi_i)}\Delta t_i\)，为此需要对左端使用微分中值定理，然后证明\(\Vert T\Vert\to0\)等价于\(\Vert T'\Vert\to0\)，从而右端移项到左端后可以把极限算符提出来而证明里面的表达式可以任意小。
- 由直角坐标方程\(y=f(x),x\in[a,b]\)表示的曲线可以转化为参数方程表示，而当\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续可微时其弧长为\(s=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\dx\)
- 同理，由极坐标方程\(r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta]\)表示的曲线当\(r'(\theta)\)在\([\alpha,\beta]\)上连续且\(r(\theta)\)与\(r'(\theta)\)不同时为零时弧长为\(s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}\d \theta\)。
- 弧微分定义\(\ds=\sqrt{\dx^2+\dy^2}\)，微分三角形
- 对于一个光滑曲线，平均曲率定义为倾角增量和弧长增量的比即\(\overline{K}=\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\)，曲率则定义为平均曲率的极限即\(K=\abs{\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}}=\abs{\dd{\alpha}{s}}=\frac{\abs{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}{(x'^2(t)+y'^2(t))^{3/2}}\)。
- 可求得圆在圆周上任意一点处的曲率为\(K=\frac{1}{R}\)
- 曲线任意一点处若曲率不为零，则可过该点作一个半径为\(\frac{1}{K}\)使得该圆在该点与该曲线有相同的切线并在该点近旁与该曲线位于该切线同侧。这个圆称为曲率圆，其半径和圆心称为曲率半径和曲率中心。
- 旋转曲面的面积可以把每一小段近似地用圆台的侧面积来表示（怎样严格定义曲面的面积？书上说在下册重积分章节，what the fuck?）
- 直角坐标系方程：\(S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}\dx\)
- 参数方程：\(S=2\pi\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\dt\)
- 定积分在物理中的应用
- 定积分的近似计算：梯形法、抛物线法。详见数值分析。
第十一章 反常积分
- 问题的提出（即应用）：求第二宇宙速度（使得火箭能够克服地球引力无限远离地球）；求盛满水的圆柱形桶通过底下小孔流光所有水所需时间
- 定义
- \(f\)定义在\([a,+\infty)\)上且在任何有限区间\([a,u]\)上可积。若存在极限\(\lim_{u\to+\infty}\int_a^u f(x)\dx=J\)则称此极限为\(f\)在\([a,+\infty)\)上的无穷限反常积分，记为\(J=\int_a^{+\infty}f(x)\dx\)，并称\(\int_a^{+\infty}f(x)\dx\)收敛。
- \((-\infty,+\infty)\)上的无穷积分通过上述和对应的另一种单边无穷积分来定义（任取一分割点把两者相加），只有两种单边无穷积分都收敛才收敛，且分割点选取与收敛时的值无关
- \(f\)定义在\((a,b]\)上且在\(a\)的任一右邻域无界，但在任何闭区间\([u,b]\subset(a,b]\)上有界且可积。若存在极限\(\lim_{u\to a^+}\int_u^b f(x)\dx=J\)则称此极限为无界函数\(f\)在\((a,b]\)上的反常积分，记为\(J=\int_a^b f(x)\dx\)并称\(\int_a^b f(x)\dx\)收敛。\(a\)称为瑕点，这种积分也称为瑕积分。
- 定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）：无穷积分收敛的充要条件是任给\(\vae>0\)，存在\(G\ge a\)，只要\(u_1,u_2>G\)便有\(\abs{\int_a^{u_2}f(x)\dx-\int_a^{u_1}f(x)\dx}=\abs{\int_{u_1}^{u_2}f(x)\dx}\lt\vae\)。证明：通过函数极限的柯西准则。
- 性质：两收敛的无穷积分的线性组合也收敛，且满足线性运算性质
- 若\(f\)在任何有限区间\([a,u]\)上可积且\(\int_a^{+\infty}\abs{f(x)}\dx\)收敛，则\(\int_a^{+\infty}f(x)\dx\)也收敛，且有\(\abs{\int_a^{+\infty}f(x)\dx}\le\int_a^{+\infty}\abs{f(x)}\dx\)。当\(\int_a^{+\infty}\abs{f(x)}\dx\)收敛时，称\(\int_a^{+\infty}f(x)\dx\)为绝对收敛，因此这条性质表明绝对收敛=>收敛。但是反之不成立，例如当\(0\lt p\le1\)时\(\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^p}\dx\)条件收敛。称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。
- 定理11.2（比较判别法）：若定义在\([a,+\infty)\)上的两个函数\(f\)和\(g\)都在任何有限区间\([a,u]\)上可积且满足\(\abs{f(x)}\le g(x),x\in[a,+\infty)\)，则当\(\int_a^{+\infty}g(x)\dx\)收敛时\(\int_a^{+\infty}\abs{f(x)}\dx\)必收敛。证明：\(\int_a^{+\infty}\abs{f(x)}\dx\)关于上界\(u\)是单调递增，而\(\int_a^{+\infty}g(x)\dx\)的收敛性给了它一个上界，于是单调有界定理。
- 推论：若\(\abs{f(x)}\)和\(g(x)\)的比值为一常数，利用此定理通过该常数的大小来判断。
- 定理11.3（狄利克雷判别法）：若\(F(u)=\int_a^u f(x)\dx\)在\([a,+\infty)\)上有界，\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)上当\(x\to+\infty\)时单调趋于0，则\(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\dx\)收敛。证明：积分第二中值定理+柯西准则。
- 定理11.4（阿贝尔判别法）：若\(\int_a^{+\infty} f(x)\dx\)收敛，\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)上单调有界，则\(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\dx\)收敛。证明：积分第二中值定理或定理11.3。
- 当\(x\to+\infty\)时被积函数即使不趋于零，甚至是无解的，无穷积分仍有可能收敛，例如\(\int_1^{+\infty}x\sin x^4\dx\)。
- 和无穷积分类似，我们有：
- 定理11.5（瑕积分收敛的柯西准则）
- 定理11.6（瑕积分收敛判定的比较法则）
我的小结
全书的脉络大概是（一张图放不下了）：